IME / ITA(ITA 2013) Binômio de Newton

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Danibra7000
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(ITA 2013) Binômio de Newton

Mensagem não lida por Danibra7000 »

ITA - 2013 - O coeficiente de [tex3]x^{4}y^{4}[/tex3] no desenvolvimento de)[tex3](1+ x + y )^{10}[/tex3] é:



Resolução: O termo de [tex3]y^{4}[/tex3] no desenvolvimento de [tex3]((1+x)+y)^{10}[/tex3] é [tex3]\begin{pmatrix}
10 \\
6 \\
\end{pmatrix}[/tex3] [tex3](1+x)^{6}[/tex3] [tex3]\cdot y^{4}[/tex3]

O termo de [tex3]x^{4}[/tex3] no desenvolvimento de [tex3](1+x)^{6}[/tex3] é [tex3]\begin{pmatrix}
10 \\
4 \\
\end{pmatrix}1^{6}\cdot x^{4}[/tex3]

Portanto, o coeficiente de [tex3]x^{4}[/tex3] no desenvolvimento de [tex3](1+x+y)^{10}[/tex3] é [tex3]\begin{pmatrix}
10 \\
4 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
6 \\
4 \\
\end{pmatrix}[/tex3] = 210 [tex3]\cdot [/tex3] 15 = 3150


O desenvolvimento do Y e do X eu entendi, agora esse [tex3]x^{6}[/tex3] , não consegui entender, de onde surgiu? E o restante?
Grato.




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backstreetboy
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Re: (ITA 2013) Binômio de Newton

Mensagem não lida por backstreetboy »

Qual x^6? Creio que esteja completa a resolução




Auto Excluído (ID:21941)
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Jun 2019 20 17:49

Re: (ITA 2013) Binômio de Newton

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:21941) »

Boa noite! Também não entendi essas passagens. Meu raciocínio a partir da interpretação combinatória foi o seguinte:
Para chegar em x^4 e y^4 precisamos permutar os elementos (1), (x) e (y) em 10 lugares disponíveis. A única forma de obter tal resultado é colocar o (x) 4 vezes, o (y) 4 vezes e o (1) 2 vezes nos lugares ("nas cadeiras"). Dessa forma fiz Permutação de 10 elementos com 4, 4 e 2 repetidos [tex3]P_{10}^{4,4,2}[/tex3] =3150. Me parece correto o pensamento. Corrijam-me se estiver equivocado! Abraços...




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