IME / ITA(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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Jan 2018 07 09:39

(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Na figura abaixo os quadriláteros AMNB, AEFC e APQR são quadrados; S1=9m², S2= 6m², calcular a área da região triangular ABC.
figura.png
figura.png (287.8 KiB) Exibido 2327 vezes
Resposta

r.: 16m²

Última edição: ALDRIN (Qui 08 Fev, 2018 13:22). Total de 2 vezes.
Razão: Arrumar Título



Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2018 12 05:06

Re: Simulado IME/ITA - Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

algumas considerações:
triângulo EAR congruente ao CAP

complete o retângulo MNHO tal que o ponto R esteja sobre OH e O esteja na reta NC.
triângulo ARH é congruente a ABP de onde HR = PB e RO = PN. Também temos que PC = PB + AB + NE
dai vem que o triângulo ROC é congruente ao PNE e portanto M,N e E estão alinhados.

De onde triângulo ABC é congruente ao AME

[tex3]X = PC \cap ER[/tex3]

triângulo EPX congruente ao CRX de onde X está na mediatriz de E e C e portanto AX é bissetriz do ângulo <CAP

- Ligue AN,e trace PY perpendicular a AP com Y em AP.
APY é semelhante à BXA

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 12 Jan, 2018 21:06). Total de 6 vezes.



Auto Excluído (ID:12031)
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Fev 2018 06 14:42

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

sendo [tex3]\alpha = \angle EAB[/tex3]
e [tex3]x = \frac{S_1}{S_2}[/tex3]
[tex3]\sin (2\alpha)(2-x) + \cos(2\alpha) = 1-x[/tex3]
no caso [tex3]\sin(2\alpha) 0.5 + \cos(2\alpha) = -0.5[/tex3]
o que implica [tex3]\alpha = n\pi - \frac{\pi}4[/tex3] o que dá muito grande [tex3]\alpha >135^{\circ}[/tex3]
ou [tex3]\alpha = 2\tg^{-1} (\frac{\sqrt{10}-1}3) \implies \tg(\alpha) =3[/tex3] mas de novo, isso é absurdo pois se [tex3]\tg (\alpha) >2[/tex3] teria-se [tex3]S_1<0[/tex3]
Última edição: ALDRIN (Qui 08 Fev, 2018 13:20). Total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título



Auto Excluído (ID:24303)
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Abr 2020 28 19:37

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:24303) »

tomando [tex3]\alpha[/tex3] conforme acima.
Seja [tex3]a = \overline{AC}[/tex3] .
Do [tex3]\triangle ABC[/tex3] : [tex3]AB = a \sen (\alpha) \implies \tg(\alpha) = \frac{PB}{AB} \implies PB = a \sen (\alpha) \tg(\alpha)[/tex3]
[tex3]S_1 = a^2 \sen^2(\alpha) -\frac{a^2}2\sen^2(\alpha) \tg(\alpha)[/tex3]

[tex3]S_{ARE} = S_2 + S_{ABE} + S_{ABR}[/tex3]
[tex3]S_{ARE} = \frac{a \cdot a \cdot \tg\alpha}2[/tex3]
[tex3]S_{ABR} = \frac{(a \tg(\alpha)) \cdot(a \sen(\alpha) \cos(\alpha))}2 = \frac{a^2 \sen^2(\alpha)}2[/tex3]
[tex3]S_{EAB} = \frac{a \cdot a \cdot \sen^2(\alpha)}{2} = S_{ABR}[/tex3]
logo
[tex3]S_2 = \frac{a^2}2(\tg (\alpha) - 2\sen^2(\alpha))[/tex3]
dessas equações, temos que [tex3]\tg(\alpha) = 1 - \sqrt{\frac25}[/tex3]
isso implica que [tex3]12 = a^2(1 - \sqrt{\frac25} - \frac1{26}(22-5\sqrt{10}))[/tex3]
de onde: [tex3]a^2 = \frac{12 \cdot 130}{20 - \sqrt{10}} = \frac{12 \cdot 130}{390} \cdot(20 + \sqrt{10}) = 4\cdot(20 + \sqrt{10})[/tex3]
por fim: [tex3]S_{ABC} = \frac{a^2}2 \sen (\alpha) \cos(\alpha) = \frac{a^2}2 \frac{\sen^2(\alpha)}{\tg(\alpha)} = \frac{a^2}2 \frac{(20 - \sqrt{10})} {52}=[/tex3]
[tex3]= \frac{2}{52}(20^2 - 10) = 15[/tex3]
Acho que deve dar pra ver que tem que ser a soma, só pelas fórmulas direto.

Última edição: Auto Excluído (ID:24303) (Ter 28 Abr, 2020 19:47). Total de 2 vezes.



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