IME / ITA ⇒ (ITA) Logaritmos Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Seja [tex3](x_{0},y_{0})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x_{0},y_{0})[/tex3]

é uma solução real do sistema
[tex3]\begin{cases}
\log_{2}(x+2y)-\log_{3}(x-2y)=2, \\
x^{2}-4y^{2}=4
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\log_{2}(x+2y)-\log_{3}(x-2y)=2, \\
x^{2}-4y^{2}=4
\end{cases}[/tex3]

então [tex3]x_{0}+y_{0}[/tex3]

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[tex3]x_{0}+y_{0}[/tex3]

é igual a:
a) [tex3]\frac{7}{4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{7}{4}.[/tex3]

b) [tex3]\frac{11}{4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{11}{4}.[/tex3]

c) [tex3]\frac{11}{4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{11}{4}.[/tex3]

d) [tex3]\frac{13}{4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{13}{4}.[/tex3]

e) [tex3]\frac{17}{4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{17}{4}.[/tex3]

Resposta

---

Letra D

[jedi]

Ali na primeira equação é [tex3]\log_3[/tex3]

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[tex3]\log_3[/tex3]

mesmo ? não seria [tex3]\log_2[/tex3]

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[tex3]\log_2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:17906)]

Ali na primeira equação é [tex3]\log_3[/tex3]

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[tex3]\log_3[/tex3]

mesmo ? não seria [tex3]\log_2[/tex3]

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[tex3]\log_2[/tex3]

Aqui no meu livro está escrito [tex3]\log_{3}[/tex3]

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[tex3]\log_{3}[/tex3]

.

[jedi]

aplicando log2 na segunda equação

[tex3]\log_2(x^2-4y^2)=\log_24[/tex3]

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[tex3]\log_2(x^2-4y^2)=\log_24[/tex3]

[tex3]\log_2(x-2y)(x+2y)=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2(x-2y)(x+2y)=2[/tex3]

[tex3]\log_2(x-2y)+\log_2(x+2y)=2[/tex3]

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[tex3]\log_2(x-2y)+\log_2(x+2y)=2[/tex3]

(III)

então subtraindo a primeira equação da equação (III)

[tex3]\log_2(x-2y)+\cancel{\log_2(x+2y)}-\cancel{\log_{2}(x+2y)}+\log_{3}(x-2y)=2-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2(x-2y)+\cancel{\log_2(x+2y)}-\cancel{\log_{2}(x+2y)}+\log_{3}(x-2y)=2-2[/tex3]

[tex3]\log_2(x-2y)+\log_3(x-2y)=0[/tex3]

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[tex3]\log_2(x-2y)+\log_3(x-2y)=0[/tex3]

mudando a base do log

[tex3]\frac{\log_3(x-2y)}{\log_32}+\log_3(x-2y)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\log_3(x-2y)}{\log_32}+\log_3(x-2y)=0[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{\log_32}+1\right)\log_3(x-2y)=0[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{\log_32}+1\right)\log_3(x-2y)=0[/tex3]

[tex3]\log_3(x-2y)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_3(x-2y)=0[/tex3]

[tex3]x-2y=1[/tex3]

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[tex3]x-2y=1[/tex3]

substituindo na primeira equação

[tex3]\log_2(x+2y)=2[/tex3]

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[tex3]\log_2(x+2y)=2[/tex3]

[tex3]x+2y=4[/tex3]

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[tex3]x+2y=4[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x-2y=1\\x+2y=4\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}x-2y=1\\x+2y=4\end{cases}[/tex3]

a solução desse sistema é

[tex3]x=\frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{5}{2}[/tex3]

e [tex3]y=\frac{3}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{3}{4}[/tex3]