a) [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{3}.[/tex3]
c) [tex3]3.[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{8}.[/tex3]
e) [tex3]7.[/tex3]
Resposta
Letra D
IME / ITA ⇒ (ITA) Logaritmos Tópico resolvido
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Dez 2017
31
16:59
(ITA) Logaritmos
O valor de [tex3]y\in \mathbb{R}[/tex3]
que satisfaz a igualdade [tex3]\log_{y}49=\log_{y^{2}}7+\log_{2y}7,[/tex3]
é:
a) [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{3}.[/tex3]
c) [tex3]3.[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{8}.[/tex3]
e) [tex3]7.[/tex3]
Letra D
a) [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{3}.[/tex3]
c) [tex3]3.[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{8}.[/tex3]
e) [tex3]7.[/tex3]
Letra D
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undefinied3 
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Dez 2017
31
17:12
Re: (ITA) Logaritmos
[tex3]\log_y(49)=\log_{y^2}(7)+\log_{2y}(7) \rightarrow 2\log_y(7)=\frac{1}{2}\log_y(7)+\log_{2y}(7)[/tex3]
A ideia é colocar tudo em base 7.
[tex3]\frac{2}{\log_7(y)}=\frac{1}{2\log_7(y)}+\frac{1}{\log_7(2y)}[/tex3]
[tex3]4\log_7(2y)=\log_7(2y)+2\log_7(y) \rightarrow 3\log_7(2y)=2\log_7(y)[/tex3]
[tex3](2y)^3=y^2 \rightarrow 8y=1 \rightarrow y=\frac{1}{8}[/tex3]
A ideia é colocar tudo em base 7.
[tex3]\frac{2}{\log_7(y)}=\frac{1}{2\log_7(y)}+\frac{1}{\log_7(2y)}[/tex3]
[tex3]4\log_7(2y)=\log_7(2y)+2\log_7(y) \rightarrow 3\log_7(2y)=2\log_7(y)[/tex3]
[tex3](2y)^3=y^2 \rightarrow 8y=1 \rightarrow y=\frac{1}{8}[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Dez 2017
31
22:50
Re: (ITA) Logaritmos
Boa noite GuiBernardo. A solução do colega foi ótima, mas resolvi a questão um pouco diferente (deixei os logs na base [tex3]y[/tex3]
). Vou deixar aqui, pode ser que ajude de alguma maneira.
Solução:
[tex3]\log_{y}49=\log_{y^{2}}7+\log_{2y}7[/tex3]
[tex3]2\cdot \log_{y}7=\frac{1}{2}\cdot \log_{y}7+\frac{\log_{y}7}{\log_{y}2y}[/tex3] . Como [tex3]\log_{y}7\neq 0[/tex3] , divida a equação por [tex3]\log_{y}7[/tex3] :
[tex3]2=\frac{1}{2}+\frac{1}{\log_{y}2y}[/tex3] . Multiplique a equação por [tex3]2\cdot \log_{y}2y[/tex3] :
[tex3]4\cdot \log_{y}2y=\log_{y}2y+2[/tex3]
[tex3]4\cdot \log_{y}2y=\log_{y}2y+\log_{y}y^{2}[/tex3]
[tex3]\log_{y}(2y)^4=\log_{y}\left({2y\cdot y^2}\right)[/tex3] . Como as base são iguais:
[tex3]2^4\cdot y^{4}=2y^3[/tex3]
[tex3]2^3 y\cdot \cancel{2\cdot y^{3}}=\cancel{2y^3}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{y=\frac{1}{8}}}[/tex3]
Att>>rodBR.
Solução:
[tex3]\log_{y}49=\log_{y^{2}}7+\log_{2y}7[/tex3]
[tex3]2\cdot \log_{y}7=\frac{1}{2}\cdot \log_{y}7+\frac{\log_{y}7}{\log_{y}2y}[/tex3] . Como [tex3]\log_{y}7\neq 0[/tex3] , divida a equação por [tex3]\log_{y}7[/tex3] :
[tex3]2=\frac{1}{2}+\frac{1}{\log_{y}2y}[/tex3] . Multiplique a equação por [tex3]2\cdot \log_{y}2y[/tex3] :
[tex3]4\cdot \log_{y}2y=\log_{y}2y+2[/tex3]
[tex3]4\cdot \log_{y}2y=\log_{y}2y+\log_{y}y^{2}[/tex3]
[tex3]\log_{y}(2y)^4=\log_{y}\left({2y\cdot y^2}\right)[/tex3] . Como as base são iguais:
[tex3]2^4\cdot y^{4}=2y^3[/tex3]
[tex3]2^3 y\cdot \cancel{2\cdot y^{3}}=\cancel{2y^3}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{y=\frac{1}{8}}}[/tex3]
Att>>rodBR.
Última edição: rodBR (Dom 31 Dez, 2017 22:57). Total de 3 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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