IME / ITA

Resolver o sistema
[tex3]\begin{cases}
5x-2y+3z=2 \\
3x+y+4z=-1 \\
4x-3y+z=3
\end{cases}[/tex3]
Resposta (-[tex3]\alpha [/tex3] ,-1,-[tex3]\alpha [/tex3] ,[tex3]\alpha [/tex3] )

[tex3]5x-2y+3z=2(I)[/tex3]
[tex3]3x+y+4z=-1(II)[/tex3]
[tex3]4x-3y+z=3(III)[/tex3]
(I)-(II)
[tex3]2x-3y-z=3[/tex3] (IV)
3=3
[tex3]2x-3y-z=4x-3y+z\rightarrow x=-z[/tex3]
(I)+(II)
[tex3]8x-y-7x=1\rightarrow x-y=1[/tex3] (VI)
multiplicando (VI) por -3
[tex3]-3x+3y=-3[/tex3]
Usando(IV)
e (IV)+(IV)
[tex3]2x=0\rightarrow x=0\rightarrow z=0\rightarrow y=-1[/tex3]
As outras soluções não estudei ainda.

Boa noite, Rinaldo.

Fazendo I + 2II:

[tex3]

5x-2y+3z + (6x+2y+8z) = 2 + (-2) \therefore 11x + 11z = 0 \therefore x = -z

[/tex3]

Substituindo em II:

[tex3]

3x+y+4z = -1 \therefore -3z+y+4z = -1 \therefore y = -1-z

[/tex3]

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

[tex3]

S = \{ z \in \mathbb{R}| (-z, -1-z, z) \}

[/tex3]

ou, conforme o gabarito: [tex3]S = \{ \alpha \in \mathbb{R}|(-\alpha,-1-\alpha,\alpha)\} [/tex3] .

Abraços,
Pedro.

¹Você pode utilizar, por exemplo, a Regra de Cramer para provar que o sistema tem infinitas soluções.

Montando a matriz associada, temos:
[tex3]\begin{bmatrix}
5 & -2 & 3 & 2\\
3 & 1 & 4 & -1\\
4 & -3 & 1 & 3
\end{bmatrix}
[/tex3]

Escalonando a matriz encontramos
[tex3]\begin{bmatrix}
0& 11 & 11 & -11\\
0&-7 & -7 & 7
\end{bmatrix} = \begin{cases}
11y+11z=-11 \rightarrow y+z=-1 \\
-7y-7z=7\rightarrow -y-z=1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\boxed{y=-1-z}[/tex3]

Substituindo [tex3]y+z=-1[/tex3] na segunda equação, temos:
[tex3]3x+y+4z=y+z\rightarrow 3x+3z=0\rightarrow \boxed{x=-z}[/tex3]

Sendo assim
[tex3]\boxed{\boxed{(-z, -1-z, z)}}[/tex3]

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