IME / ITA ⇒ (Simulado ITA) Congruência Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Os últimos dois dígitos do número [tex3]2^{5}+2^{5^{2}}2^{5^{3}}+...+2^{5^{1991}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{5}+2^{5^{2}}2^{5^{3}}+...+2^{5^{1991}}[/tex3]

, quando escrito na base 10, são:
a) [tex3]12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12[/tex3]

.
b) [tex3]16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16[/tex3]

.
c) [tex3]24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]24[/tex3]

.
d) [tex3]28[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]28[/tex3]

.
e) [tex3]56[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]56[/tex3]

.

Resposta

---

Letra a)

[Ittalo25]

Os 2 últimos dígitos são encontrados olhando módulo 100, testando algumas potências de 2 chega-se a um resultado "agradável" (número pequeno) em [tex3]2^{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{12}[/tex3]

[tex3]2^{12} \equiv -2^2 \mod(100)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{12} \equiv -2^2 \mod(100)[/tex3]

[tex3]2^{24} \equiv 2^4 \mod(100)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{24} \equiv 2^4 \mod(100)[/tex3]

[tex3]2^{25} \equiv 2^5 \mod(100)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{25} \equiv 2^5 \mod(100)[/tex3]

[tex3]2^{125} \equiv 2^{25} \mod(100)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{125} \equiv 2^{25} \mod(100)[/tex3]

[tex3]2^{625} \equiv 2^{125} \mod(100)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{625} \equiv 2^{125} \mod(100)[/tex3]

E assim o padrão se repete:

[tex3]2^{5}+2^{5^{2}}+2^{5^{3}}+...+2^{5^{1991}} \equiv 1991 \cdot 2^5 \equiv 91 \cdot 32 \equiv \boxed{12 \mod(100)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{5}+2^{5^{2}}+2^{5^{3}}+...+2^{5^{1991}} \equiv 1991 \cdot 2^5 \equiv 91 \cdot 32 \equiv \boxed{12 \mod(100)}[/tex3]