IME / ITA(ITA - 2000) Geometria Espacial: Tronco de Pirâmide Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Autor do Tópico
jgpret
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Jul 2008 14 22:27

(ITA - 2000) Geometria Espacial: Tronco de Pirâmide

Mensagem não lida por jgpret »

Considere uma pirâmide regular com altura de [tex3]\frac{6}{\sqrt[3]{9}} \text{ cm}.[/tex3] Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é a base da pirâmide original é igual a:

[tex3]\text{a) } 2(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{b) } 2(\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{2}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{c) } 2(\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{3}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{d) } 2(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) \text{ cm}[/tex3]
[tex3]\text{e) } 2(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3}) \text{ cm}[/tex3]

Boa Noite!
Peço ajuda na resolução desse problema. Não consigo chegar na alternativa exata.
Grato!

Última edição: jgpret (Seg 14 Jul, 2008 22:27). Total de 1 vez.



Beastie
1 - Trainee
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Jul 2008 16 00:49

Re: (ITA - 2000) Geometria Espacial: Tronco de Pirâmide

Mensagem não lida por Beastie »

Sejam [tex3]h, h_1, h_2[/tex3] e [tex3]h_3[/tex3] as alturas da pirâmide maior, da pirâmide menor, do tronco de pirâmide abaixo desta e o tronco de pirâmide cuja base é igual à base original. Por semelhança:
  • [tex3]V_1=\(\frac{h_1}{h}\)^3\cdot V=\frac{1}{3}V\Rightarrow \frac{h_1}{\frac{6}{\sqrt[3]{9}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\Rightarrow h_1=2\,\text{cm};[/tex3]

    [tex3]V_1+V_2=\(\frac{h_1+h_2}{h}\)^3\cdot V=\frac{2}{3}V\Rightarrow \frac{h_1+h_2}{h}=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\Rightarrow h_2=2\sqrt[3]{2}-2\,\text{cm}.[/tex3]
Como [tex3]h_3=h-h_1-h_2,[/tex3] [tex3]h_3=\frac{6}{\sqrt[3]{9}}-2-(2\sqrt[3]{2}-2)=2\sqrt[3]{3}-2\sqrt[3]{2}=2(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})\,\text{cm},[/tex3] letra (d).

Última edição: Beastie (Qua 16 Jul, 2008 00:49). Total de 1 vez.


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