IME / ITA ⇒ Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[Babi123]

Quantas raízes tem a equação: [tex3]\sen x=\frac{x}{100}[/tex3]

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[tex3]\sen x=\frac{x}{100}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

repare que x>100 ou x<-100 não podem dar soluções já que [tex3]-1 \leq \sen(x) \leq 1[/tex3]

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[tex3]-1 \leq \sen(x) \leq 1[/tex3]

a questão é quantas vezes a reta y = x/100 cruza o gráfico [tex3]y = \sen(x)[/tex3]

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[tex3]y = \sen(x)[/tex3]

(que é aquela ondinha infinita). Temos um encontro na origem x=0 a partir dai a inclinação de [tex3]\sen(x)[/tex3]

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[tex3]\sen(x)[/tex3]

é maior do que a da reta [tex3]y =x/100[/tex3]

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[tex3]y =x/100[/tex3]

(isso precisa de derivadas) então a reta só vai cruzar o gráfico na descida da onda depois de [tex3]\pi/2[/tex3]

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[tex3]\pi/2[/tex3]

e vai cortar uma vez nessa descida. a cada período de [tex3]2\pi[/tex3]

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[tex3]2\pi[/tex3]

a reta corta a onda exatamente duas vezes. Tome [tex3]k = \left\lfloor \frac{100}{2 \cdot \pi} \right\rfloor = 15[/tex3]

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[tex3]k = \left\lfloor \frac{100}{2 \cdot \pi} \right\rfloor = 15[/tex3]

teremos então 30 encontros contando com o [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

. pode ser que haja mais um encontro no intervalo [tex3][30 \pi, 100][/tex3]

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[tex3][30 \pi, 100][/tex3]

mas já temos [tex3]2\cdot 29+1 = 59[/tex3]

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[tex3]2\cdot 29+1 = 59[/tex3]

soluções.

caso exista [tex3]30 \pi < x < 100[/tex3]

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[tex3]30 \pi < x < 100[/tex3]

com [tex3]\sen(x) = x/100[/tex3]

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[tex3]\sen(x) = x/100[/tex3]

então
[tex3]\frac{3 \pi}{10} < \frac{x}{100} < 1[/tex3]

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[tex3]\frac{3 \pi}{10} < \frac{x}{100} < 1[/tex3]

[tex3]\frac{3 \pi}{10} < \sen(x) < 1[/tex3]

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[tex3]\frac{3 \pi}{10} < \sen(x) < 1[/tex3]

então há mais dois encontros da reta com o gráfico da seno já que [tex3]100 - 30*\pi > 5 > \pi[/tex3]

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[tex3]100 - 30*\pi > 5 > \pi[/tex3]

há então 63 soluções para essa equação