O valor real que satisfaz a equação [tex3]\text{arcsen} x+\text{arcsen} 2x=\frac{\pi}{2},[/tex3]
a) [tex3]\frac{1}{5}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{14}{5}.[/tex3]
para [tex3]x[/tex3]
pertencente ao intervalo [tex3](0, 1),[/tex3]
éIME / ITA ⇒ (AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas Tópico resolvido
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Jul 2008
11
23:02
(AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas
Última edição: ALDRIN (Sex 11 Jul, 2008 23:02). Total de 1 vez.
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Jul 2008
12
23:05
Re: (AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas
[tex3]\text{arcsen}x + \text{arcsen}2x = \frac{\pi}{2}[/tex3]
Sejam [tex3]a = \text{arcsen}x[/tex3] e [tex3]b = \text{arcsen}2x.[/tex3] Então:
Daí teremos também,
Sejam [tex3]a = \text{arcsen}x[/tex3] e [tex3]b = \text{arcsen}2x.[/tex3] Então:
- [tex3]\text{sen}a = x \Rightarrow \text{sen}^2a = x^2\Rightarrow 1- cos^2 a = x^2 \Rightarrow cos a = \sqrt{1-x^2}[/tex3]
Daí teremos também,
- [tex3]\text{sen}b = 2x \Rightarrow \text{sen}^2 b = 4x^2 \Rightarrow 1 - cos^2 b = 4x^2 \Rightarrow cos b = \sqrt{1 - 4x^2}[/tex3]
- [tex3]\text{sen}(a+b) = \text{sen}\frac{\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\text{sen}a \cdot cos b + \text{sen} b \cdot cos a = 1[/tex3]
[tex3]x\cdot \sqrt{1 - 4x^2} + 2x\cdot\sqrt{1-x^2} = 1[/tex3]
[tex3]\sqrt{1 - 4x^2} + 2\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{x}[/tex3]
- [tex3]1 - 4x^2 + 4 - 4x^2 + 4.\sqrt{(1-x^2)(1-4x^2)} = \frac{1}{x^2}[/tex3]
[tex3]4.\sqrt{(1-x^2)(1-4x^2)} = \frac{1}{x^2} -5 + 8x^2[/tex3]
- [tex3]16.(1-x^2)(1-4x^2) = \frac{1}{x^4}+ 64x^4 + 25 + 16 - \frac{10}{x^2}- 80x^2[/tex3]
[tex3]16 - 80x^2 + 64x^4 = \frac{1}{x^4}+ 64x^4 + 25 + 16 - \frac{10}{x^2}- 80x^2[/tex3]
- [tex3]\frac{1}{x^4}-\frac{10}{x^2} + 25 = 0[/tex3]
[tex3]y^2 - 10y + 25 = 0[/tex3] , e chamando [tex3]\frac{1}{x^2} = y[/tex3]
- [tex3]\frac{1}{x^2} = 5[/tex3]
[tex3]x = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex3] , como ele só quer as respostas entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3]
[tex3]x = \frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]
Última edição: SoNiC (Sáb 12 Jul, 2008 23:05). Total de 1 vez.
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Set 2021
15
11:31
Re: (AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas
Um outro modo, que julgo interessante.
Note que [tex3]\arcsen x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/tex3]
[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \frac{\pi}{2}[/tex3]
Mas, [tex3]\arg z + \arg w = \arg zw[/tex3] . Então definindo os complexos [tex3]z = \sqrt{1-x^2} + xi[/tex3] e [tex3]w = \sqrt{1 - 4x^2} + 2ix[/tex3]
[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \arg z + \arg w = \arg zw [/tex3]
[tex3]zw = \sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 + i\left(x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}\right)[/tex3]
[tex3]\arg zw = \arctan \left(\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}\right) = \frac{\pi}{2}[/tex3]
Então [tex3]\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}[/tex3] tem que explodir pra infinito, tomando [tex3]\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 = 0 \iff 4x^4 = (1 - 4x^2)(1 - x^2) = 1 - x^2 - 4x^2 + 4x^4 \iff x^2 = \frac{1}{5}[/tex3] , como [tex3]x > 0[/tex3] , [tex3]x = \frac{\sqrt 5}{5} \ \ \blacksquare[/tex3]
Note que [tex3]\arcsen x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/tex3]
[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \frac{\pi}{2}[/tex3]
Mas, [tex3]\arg z + \arg w = \arg zw[/tex3] . Então definindo os complexos [tex3]z = \sqrt{1-x^2} + xi[/tex3] e [tex3]w = \sqrt{1 - 4x^2} + 2ix[/tex3]
[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \arg z + \arg w = \arg zw [/tex3]
[tex3]zw = \sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 + i\left(x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}\right)[/tex3]
[tex3]\arg zw = \arctan \left(\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}\right) = \frac{\pi}{2}[/tex3]
Então [tex3]\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}[/tex3] tem que explodir pra infinito, tomando [tex3]\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 = 0 \iff 4x^4 = (1 - 4x^2)(1 - x^2) = 1 - x^2 - 4x^2 + 4x^4 \iff x^2 = \frac{1}{5}[/tex3] , como [tex3]x > 0[/tex3] , [tex3]x = \frac{\sqrt 5}{5} \ \ \blacksquare[/tex3]
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