Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

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Prof. Caju

IME / ITA ⇒ (AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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ALDRIN
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Jul 2008 11 23:02

(AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas

Mensagem não lidapor ALDRIN » 11 Jul 2008, 23:02

Mensagem não lida por ALDRIN »

O valor real que satisfaz a equação [tex3]\text{arcsen} x+\text{arcsen} 2x=\frac{\pi}{2},[/tex3] para [tex3]x[/tex3] pertencente ao intervalo [tex3](0, 1),[/tex3] é

a) [tex3]\frac{1}{5}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{14}{5}.[/tex3]
Editado pela última vez por ALDRIN em 11 Jul 2008, 23:02, em um total de 1 vez.
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.
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SoNiC
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Jul 2008 12 23:05

Re: (AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas

Mensagem não lidapor SoNiC » 12 Jul 2008, 23:05

Mensagem não lida por SoNiC »

[tex3]\text{arcsen}x + \text{arcsen}2x = \frac{\pi}{2}[/tex3]

Sejam [tex3]a = \text{arcsen}x[/tex3] e [tex3]b = \text{arcsen}2x.[/tex3] Então:
  • [tex3]\text{sen}a = x \Rightarrow \text{sen}^2a = x^2\Rightarrow 1- cos^2 a = x^2 \Rightarrow cos a = \sqrt{1-x^2}[/tex3]
O cosseno é positivo, pois a função [tex3]\text{arcsen}[/tex3] tem [tex3]a[/tex3] em seu domínio variando de [tex3]\left]0; \frac{\pi}{2}\right[.[/tex3]

Daí teremos também,
  • [tex3]\text{sen}b = 2x \Rightarrow \text{sen}^2 b = 4x^2 \Rightarrow 1 - cos^2 b = 4x^2 \Rightarrow cos b = \sqrt{1 - 4x^2}[/tex3]
Aplicando a função seno dos dois lados na primeira equação:
  • [tex3]\text{sen}(a+b) = \text{sen}\frac{\pi}{2}[/tex3]
    [tex3]\text{sen}a \cdot cos b + \text{sen} b \cdot cos a = 1[/tex3]
    [tex3]x\cdot \sqrt{1 - 4x^2} + 2x\cdot\sqrt{1-x^2} = 1[/tex3]
    [tex3]\sqrt{1 - 4x^2} + 2\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{x}[/tex3]
Elevando ao quadrado:
  • [tex3]1 - 4x^2 + 4 - 4x^2 + 4.\sqrt{(1-x^2)(1-4x^2)} = \frac{1}{x^2}[/tex3]
    [tex3]4.\sqrt{(1-x^2)(1-4x^2)} = \frac{1}{x^2} -5 + 8x^2[/tex3]
Elevando ao quadrado novamente:
  • [tex3]16.(1-x^2)(1-4x^2) = \frac{1}{x^4}+ 64x^4 + 25 + 16 - \frac{10}{x^2}- 80x^2[/tex3]
    [tex3]16 - 80x^2 + 64x^4 = \frac{1}{x^4}+ 64x^4 + 25 + 16 - \frac{10}{x^2}- 80x^2[/tex3]
Cortando os termos semelhantes, ficamos com a equação:
  • [tex3]\frac{1}{x^4}-\frac{10}{x^2} + 25 = 0[/tex3] , e chamando [tex3]\frac{1}{x^2} = y[/tex3]
    [tex3]y^2 - 10y + 25 = 0[/tex3]
[tex3]y = 5[/tex3] é a única resposta, daí:
  • [tex3]\frac{1}{x^2} = 5[/tex3]
    [tex3]x = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex3] , como ele só quer as respostas entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3]
    [tex3]x = \frac{\sqrt{5}}{5}.[/tex3]
Alternativa (b).
Editado pela última vez por SoNiC em 12 Jul 2008, 23:05, em um total de 1 vez.
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snooplammer
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Re: (AFA - 1999) Trigonometria: Funções Trigonométricas Inversas

Mensagem não lidapor snooplammer » 15 Set 2021, 11:31

Mensagem não lida por snooplammer »

Um outro modo, que julgo interessante.

Note que [tex3]\arcsen x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/tex3]

[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \frac{\pi}{2}[/tex3]

Mas, [tex3]\arg z + \arg w = \arg zw[/tex3] . Então definindo os complexos [tex3]z = \sqrt{1-x^2} + xi[/tex3] e [tex3]w = \sqrt{1 - 4x^2} + 2ix[/tex3]

[tex3]\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \arctan \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} = \arg z + \arg w = \arg zw [/tex3]

[tex3]zw = \sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 + i\left(x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}\right)[/tex3]

[tex3]\arg zw = \arctan \left(\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}\right) = \frac{\pi}{2}[/tex3]

Então [tex3]\frac{x\sqrt{1-4x^2} + 2x\sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2}[/tex3] tem que explodir pra infinito, tomando [tex3]\sqrt{(1-4x^2)(1-x^2)} - 2x^2 = 0 \iff 4x^4 = (1 - 4x^2)(1 - x^2) = 1 - x^2 - 4x^2 + 4x^4 \iff x^2 = \frac{1}{5}[/tex3] , como [tex3]x > 0[/tex3] , [tex3]x = \frac{\sqrt 5}{5} \ \ \blacksquare[/tex3]
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