Calcular o produto:
[tex3]P=\sen \frac{\pi }{28}\cdot \sen \frac{3\pi }{28}\cdot \sen \frac{5\pi } {28}\cdot \ ... \ \cdot \sen \frac{13\pi }{28} [/tex3]
a) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^6}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^8}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^7}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^9}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^5}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ Produto de Senos Tópico resolvido
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Andre13000
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Nov 2017
26
12:43
Re: Produto de Senos
Pense num polinômio.
Primeiro, escreva esse produto na forma compacta.
[tex3]P=\prod_{k=0}^6\sen \frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]
ou
[tex3]P^2=\prod_{k=0}^{13} \sen \frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]
Método 1:
Assuma
[tex3]\alpha=\frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]
Então podemos fazer algumas manipulações algébricas convenientes
[tex3]28\alpha=2k\pi+\pi[/tex3]
Agora aplicaremos a função seno
[tex3]\sen(28\alpha)=0[/tex3]
Obs: a partir daqui fica meio feioso o método, então não vou continuar. A ideia é expandir a expressão em termos de [tex3]\sen\alpha[/tex3] . Outra coisa é que às vezes funciona você fazer [tex3]14\alpha=\pi-14\alpha[/tex3] , ou seja, não colocar todos os fatores de alfa de um lado só, à fim de facilitar a expansão e eliminar algumas raízes inúteis.
Método 2:
Pense nesta expressão:
[tex3]f(x)=\prod_{k=0}^{n-1} \(x-\cis\frac{2k\pi}{n}\)=x^n-1\\
|f(x)|=\prod_{k=0}^{n-1}\left|1-\cis\frac{2k\pi}{n}\right|=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2x\cos\frac{2k\pi}{n}}\\
x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2x\cos\frac{2k\pi}{n}}[/tex3]
Perceba que se colocarmos [tex3]x=1[/tex3] para obter o resultado desejado, aí vai dar tudo errado. Considere da seguinte forma então:
[tex3]x=1+\Delta\\
(1+\Delta)^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2(1+\Delta)\cos\frac{2k\pi}{n}}\\
n\Delta=\prod_{k=0}^{n-1}2\sen\frac{k\pi}{n}[/tex3]
Eu vou cancelar sem justificativa o [tex3]\Delta[/tex3] e [tex3]\sen\frac{0\pi}{n}[/tex3] . Não faça isso em uma prova. Se você quiser demonstra formalmente isso, deverá dividir [tex3]x^n-1[/tex3] por [tex3]x-1[/tex3] , eliminando assim a raíz 1.
[tex3]n=\prod_{k=1}^{n-1}2\sen\frac{k\pi}{n}\\
n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sen\frac{k\pi}{n}[/tex3]
Façamos n=14 e depois n=28
[tex3]14=2^{13}\prod_{k=1}^{13}\sen\frac{2k\pi}{28}\\
28=2^{27}\prod_{k=1}^{28}\sen\frac{k\pi}{28}[/tex3]
Dividindo um pelo outro a gente acha que
[tex3]2=2^{14}\prod_{k=0}^{13} \sen\frac{(2k+1)\pi}{28}\\
P^2=\prod_{k=0}^{13} \sen\frac{(2k+1)\pi}{28}=\frac{1}{2^{13}}\\
P=\frac{\sqrt{2}}{2^{7}}[/tex3]
Primeiro, escreva esse produto na forma compacta.
[tex3]P=\prod_{k=0}^6\sen \frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]
ou
[tex3]P^2=\prod_{k=0}^{13} \sen \frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]
Método 1:
Assuma
[tex3]\alpha=\frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]
Então podemos fazer algumas manipulações algébricas convenientes
[tex3]28\alpha=2k\pi+\pi[/tex3]
Agora aplicaremos a função seno
[tex3]\sen(28\alpha)=0[/tex3]
Obs: a partir daqui fica meio feioso o método, então não vou continuar. A ideia é expandir a expressão em termos de [tex3]\sen\alpha[/tex3] . Outra coisa é que às vezes funciona você fazer [tex3]14\alpha=\pi-14\alpha[/tex3] , ou seja, não colocar todos os fatores de alfa de um lado só, à fim de facilitar a expansão e eliminar algumas raízes inúteis.
Método 2:
Pense nesta expressão:
[tex3]f(x)=\prod_{k=0}^{n-1} \(x-\cis\frac{2k\pi}{n}\)=x^n-1\\
|f(x)|=\prod_{k=0}^{n-1}\left|1-\cis\frac{2k\pi}{n}\right|=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2x\cos\frac{2k\pi}{n}}\\
x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2x\cos\frac{2k\pi}{n}}[/tex3]
Perceba que se colocarmos [tex3]x=1[/tex3] para obter o resultado desejado, aí vai dar tudo errado. Considere da seguinte forma então:
[tex3]x=1+\Delta\\
(1+\Delta)^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2(1+\Delta)\cos\frac{2k\pi}{n}}\\
n\Delta=\prod_{k=0}^{n-1}2\sen\frac{k\pi}{n}[/tex3]
Eu vou cancelar sem justificativa o [tex3]\Delta[/tex3] e [tex3]\sen\frac{0\pi}{n}[/tex3] . Não faça isso em uma prova. Se você quiser demonstra formalmente isso, deverá dividir [tex3]x^n-1[/tex3] por [tex3]x-1[/tex3] , eliminando assim a raíz 1.
[tex3]n=\prod_{k=1}^{n-1}2\sen\frac{k\pi}{n}\\
n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sen\frac{k\pi}{n}[/tex3]
Façamos n=14 e depois n=28
[tex3]14=2^{13}\prod_{k=1}^{13}\sen\frac{2k\pi}{28}\\
28=2^{27}\prod_{k=1}^{28}\sen\frac{k\pi}{28}[/tex3]
Dividindo um pelo outro a gente acha que
[tex3]2=2^{14}\prod_{k=0}^{13} \sen\frac{(2k+1)\pi}{28}\\
P^2=\prod_{k=0}^{13} \sen\frac{(2k+1)\pi}{28}=\frac{1}{2^{13}}\\
P=\frac{\sqrt{2}}{2^{7}}[/tex3]
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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Andre13000
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Dez 2017
05
11:03
Re: Produto de Senos
Revivendo o tópico para deixar mais alguns métodos...
Método 3:
Sabemos que
[tex3]\alpha=\frac{(2k+1)\pi}{n}\\
n\alpha=2k\pi +\pi\\
\sen n\alpha=0[/tex3]
Do meu outro post de uns dias atrás: viewtopic.php?p=160040#p160040
Para n par, ou seja, [tex3]n=2m[/tex3] :
[tex3]\sen 2m\alpha=\(2m\sen\alpha-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^3\sen^3\alpha+\frac{m(m^2-1^2)(m^2-2^2)}{5!}2^5\sen^5\alpha-\dots\)\cos\alpha\\
\sen 2m\alpha=\(2^{2m-1}\sen^{2m-1}\alpha-(2m-2)2^{2m-3}\sen^{2m-3}\alpha+\frac{(2m-3)(2m-4)}{2}2^{2m-5}\sen^{2m-5}\alpha-\dots \)(-1)^{m-1}\cos\alpha[/tex3]
É interessante notar a existência do fator cosseno. Isso deve ao fato que [tex3]\pm \frac{\pi}{2}[/tex3] são raízes de [tex3]\sen n\theta[/tex3] . Para calcular todas as raízes desse polinômio, temos que resolver a equação trigonométrica.
[tex3]\sen 2m\alpha=0=\sen(k\pi)\\
\alpha=\frac{k\pi}{2m}, k\in \mathbb Z[/tex3]
É importante notar que o polinômio em questão não tem raízes duplas, mas [tex3]\sen\(\frac{\pi}{2}+x\)=\sen\(\frac{\pi}{2}-x\)[/tex3] . Isso significa que consideraremos apenas o trecho do círculo trigonométrico que vai de 0 até [tex3]\pm \frac{\pi}{2}[/tex3] .
Fazendo [tex3]x=\sen\alpha[/tex3] e algumas modificações no polinômio:
[tex3]\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=m-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+\frac{(m^2-1^2)(m^2-2^2)}{5!}2^4x^4-\dots\\
\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=\(2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}+(2m-3)(2m-4)2^{2m-6}x^{2m-6}-\dots \)(-1)^{m-1}[/tex3]
Desse modo, tirei algumas raízes indevidas do polinômio (Entre elas: [tex3]\cos \alpha=0[/tex3] e [tex3]\sen\alpha=0[/tex3] . Agora basta aplicar as leis de relações polinomiais.
A fatoração do polinômio é (Com raízes [tex3]\pm\frac{k\pi}{2m}[/tex3] , [tex3]1\leq k\leq m-1[/tex3] ).
[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(x^2-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m[/tex3]
Talvez alguém esteja confuso agora, mas simplesmente utilizei [tex3](x+a)(x-a)=x^2-a^2[/tex3] .
Agora ir multiplicando esse produto de diversas formas e ir achando as identidades
[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=m\\
\prod_{k=1}^{m-1}\sen \frac{k\pi}{2m}=\frac{\sqrt{{m}}}{2^{m-1}}\\
\prod_{k=1}^{2m-1}\sen \frac{k\pi}{2m}=\(\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}\)^2=\frac{m}{2^{2m-2}}[/tex3]
Com o mesmo processo que acima você consegue a resposta. Agora que sabemos desse resultado, veja:
[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(x^2-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m\\
2^{2m-2}\prod_{k=1}^{m-1}\(\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}-x^2\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m\\
[/tex3]
Sabemos que o produto das raízes é [tex3]\frac{m}{2^{2m-2}}[/tex3] . Multiplicando e dividindo esse valor no lado esquerdo:
[tex3]\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=m\prod_{k=1}^{m-1}\(1-\frac{x^2}{\sen^2 \frac{k\pi}{2m}}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m[/tex3]
O ruim é que tem que fazer pro caso ímpar também. :/
Método 3:
Sabemos que
[tex3]\alpha=\frac{(2k+1)\pi}{n}\\
n\alpha=2k\pi +\pi\\
\sen n\alpha=0[/tex3]
Do meu outro post de uns dias atrás: viewtopic.php?p=160040#p160040
Para n par, ou seja, [tex3]n=2m[/tex3] :
[tex3]\sen 2m\alpha=\(2m\sen\alpha-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^3\sen^3\alpha+\frac{m(m^2-1^2)(m^2-2^2)}{5!}2^5\sen^5\alpha-\dots\)\cos\alpha\\
\sen 2m\alpha=\(2^{2m-1}\sen^{2m-1}\alpha-(2m-2)2^{2m-3}\sen^{2m-3}\alpha+\frac{(2m-3)(2m-4)}{2}2^{2m-5}\sen^{2m-5}\alpha-\dots \)(-1)^{m-1}\cos\alpha[/tex3]
É interessante notar a existência do fator cosseno. Isso deve ao fato que [tex3]\pm \frac{\pi}{2}[/tex3] são raízes de [tex3]\sen n\theta[/tex3] . Para calcular todas as raízes desse polinômio, temos que resolver a equação trigonométrica.
[tex3]\sen 2m\alpha=0=\sen(k\pi)\\
\alpha=\frac{k\pi}{2m}, k\in \mathbb Z[/tex3]
É importante notar que o polinômio em questão não tem raízes duplas, mas [tex3]\sen\(\frac{\pi}{2}+x\)=\sen\(\frac{\pi}{2}-x\)[/tex3] . Isso significa que consideraremos apenas o trecho do círculo trigonométrico que vai de 0 até [tex3]\pm \frac{\pi}{2}[/tex3] .
Fazendo [tex3]x=\sen\alpha[/tex3] e algumas modificações no polinômio:
[tex3]\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=m-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+\frac{(m^2-1^2)(m^2-2^2)}{5!}2^4x^4-\dots\\
\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=\(2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}+(2m-3)(2m-4)2^{2m-6}x^{2m-6}-\dots \)(-1)^{m-1}[/tex3]
Desse modo, tirei algumas raízes indevidas do polinômio (Entre elas: [tex3]\cos \alpha=0[/tex3] e [tex3]\sen\alpha=0[/tex3] . Agora basta aplicar as leis de relações polinomiais.
A fatoração do polinômio é (Com raízes [tex3]\pm\frac{k\pi}{2m}[/tex3] , [tex3]1\leq k\leq m-1[/tex3] ).
[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(x^2-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m[/tex3]
Talvez alguém esteja confuso agora, mas simplesmente utilizei [tex3](x+a)(x-a)=x^2-a^2[/tex3] .
Agora ir multiplicando esse produto de diversas formas e ir achando as identidades
[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=m\\
\prod_{k=1}^{m-1}\sen \frac{k\pi}{2m}=\frac{\sqrt{{m}}}{2^{m-1}}\\
\prod_{k=1}^{2m-1}\sen \frac{k\pi}{2m}=\(\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}\)^2=\frac{m}{2^{2m-2}}[/tex3]
Com o mesmo processo que acima você consegue a resposta. Agora que sabemos desse resultado, veja:
[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(x^2-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m\\
2^{2m-2}\prod_{k=1}^{m-1}\(\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}-x^2\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m\\
[/tex3]
Sabemos que o produto das raízes é [tex3]\frac{m}{2^{2m-2}}[/tex3] . Multiplicando e dividindo esse valor no lado esquerdo:
[tex3]\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=m\prod_{k=1}^{m-1}\(1-\frac{x^2}{\sen^2 \frac{k\pi}{2m}}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m[/tex3]
O ruim é que tem que fazer pro caso ímpar também. :/
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