IME / ITAProduto de Senos Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Hanon
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Nov 2017 24 22:33

Produto de Senos

Mensagem não lida por Hanon »

Calcular o produto:
[tex3]P=\sen \frac{\pi }{28}\cdot \sen \frac{3\pi }{28}\cdot \sen \frac{5\pi } {28}\cdot \ ... \ \cdot \sen \frac{13\pi }{28} [/tex3]


a) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^6}[/tex3]

b) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^8}[/tex3]

c) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^7}[/tex3]

d) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^9}[/tex3]

e) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2^5}[/tex3]




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Andre13000
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Nov 2017 26 12:43

Re: Produto de Senos

Mensagem não lida por Andre13000 »

Pense num polinômio.

Primeiro, escreva esse produto na forma compacta.

[tex3]P=\prod_{k=0}^6\sen \frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]

ou

[tex3]P^2=\prod_{k=0}^{13} \sen \frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]

Método 1:

Assuma

[tex3]\alpha=\frac{(2k+1)\pi}{28}[/tex3]

Então podemos fazer algumas manipulações algébricas convenientes

[tex3]28\alpha=2k\pi+\pi[/tex3]

Agora aplicaremos a função seno

[tex3]\sen(28\alpha)=0[/tex3]

Obs: a partir daqui fica meio feioso o método, então não vou continuar. A ideia é expandir a expressão em termos de [tex3]\sen\alpha[/tex3] . Outra coisa é que às vezes funciona você fazer [tex3]14\alpha=\pi-14\alpha[/tex3] , ou seja, não colocar todos os fatores de alfa de um lado só, à fim de facilitar a expansão e eliminar algumas raízes inúteis.

Método 2:

Pense nesta expressão:

[tex3]f(x)=\prod_{k=0}^{n-1} \(x-\cis\frac{2k\pi}{n}\)=x^n-1\\
|f(x)|=\prod_{k=0}^{n-1}\left|1-\cis\frac{2k\pi}{n}\right|=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2x\cos\frac{2k\pi}{n}}\\
x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2x\cos\frac{2k\pi}{n}}[/tex3]

Perceba que se colocarmos [tex3]x=1[/tex3] para obter o resultado desejado, aí vai dar tudo errado. Considere da seguinte forma então:

[tex3]x=1+\Delta\\
(1+\Delta)^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\sqrt{2-2(1+\Delta)\cos\frac{2k\pi}{n}}\\
n\Delta=\prod_{k=0}^{n-1}2\sen\frac{k\pi}{n}[/tex3]

Eu vou cancelar sem justificativa o [tex3]\Delta[/tex3] e [tex3]\sen\frac{0\pi}{n}[/tex3] . Não faça isso em uma prova. Se você quiser demonstra formalmente isso, deverá dividir [tex3]x^n-1[/tex3] por [tex3]x-1[/tex3] , eliminando assim a raíz 1.

[tex3]n=\prod_{k=1}^{n-1}2\sen\frac{k\pi}{n}\\
n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sen\frac{k\pi}{n}[/tex3]

Façamos n=14 e depois n=28

[tex3]14=2^{13}\prod_{k=1}^{13}\sen\frac{2k\pi}{28}\\
28=2^{27}\prod_{k=1}^{28}\sen\frac{k\pi}{28}[/tex3]

Dividindo um pelo outro a gente acha que

[tex3]2=2^{14}\prod_{k=0}^{13} \sen\frac{(2k+1)\pi}{28}\\
P^2=\prod_{k=0}^{13} \sen\frac{(2k+1)\pi}{28}=\frac{1}{2^{13}}\\
P=\frac{\sqrt{2}}{2^{7}}[/tex3]



“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

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Andre13000
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Re: Produto de Senos

Mensagem não lida por Andre13000 »

Revivendo o tópico para deixar mais alguns métodos...

Método 3:

Sabemos que

[tex3]\alpha=\frac{(2k+1)\pi}{n}\\
n\alpha=2k\pi +\pi\\
\sen n\alpha=0[/tex3]

Do meu outro post de uns dias atrás: viewtopic.php?p=160040#p160040

Para n par, ou seja, [tex3]n=2m[/tex3] :

[tex3]\sen 2m\alpha=\(2m\sen\alpha-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^3\sen^3\alpha+\frac{m(m^2-1^2)(m^2-2^2)}{5!}2^5\sen^5\alpha-\dots\)\cos\alpha\\
\sen 2m\alpha=\(2^{2m-1}\sen^{2m-1}\alpha-(2m-2)2^{2m-3}\sen^{2m-3}\alpha+\frac{(2m-3)(2m-4)}{2}2^{2m-5}\sen^{2m-5}\alpha-\dots \)(-1)^{m-1}\cos\alpha[/tex3]

É interessante notar a existência do fator cosseno. Isso deve ao fato que [tex3]\pm \frac{\pi}{2}[/tex3] são raízes de [tex3]\sen n\theta[/tex3] . Para calcular todas as raízes desse polinômio, temos que resolver a equação trigonométrica.

[tex3]\sen 2m\alpha=0=\sen(k\pi)\\
\alpha=\frac{k\pi}{2m}, k\in \mathbb Z[/tex3]

É importante notar que o polinômio em questão não tem raízes duplas, mas [tex3]\sen\(\frac{\pi}{2}+x\)=\sen\(\frac{\pi}{2}-x\)[/tex3] . Isso significa que consideraremos apenas o trecho do círculo trigonométrico que vai de 0 até [tex3]\pm \frac{\pi}{2}[/tex3] .

Fazendo [tex3]x=\sen\alpha[/tex3] e algumas modificações no polinômio:

[tex3]\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=m-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+\frac{(m^2-1^2)(m^2-2^2)}{5!}2^4x^4-\dots\\
\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=\(2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}+(2m-3)(2m-4)2^{2m-6}x^{2m-6}-\dots \)(-1)^{m-1}[/tex3]

Desse modo, tirei algumas raízes indevidas do polinômio (Entre elas: [tex3]\cos \alpha=0[/tex3] e [tex3]\sen\alpha=0[/tex3] . Agora basta aplicar as leis de relações polinomiais.

A fatoração do polinômio é (Com raízes [tex3]\pm\frac{k\pi}{2m}[/tex3] , [tex3]1\leq k\leq m-1[/tex3] ).

[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(x^2-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m[/tex3]

Talvez alguém esteja confuso agora, mas simplesmente utilizei [tex3](x+a)(x-a)=x^2-a^2[/tex3] .

Agora ir multiplicando esse produto de diversas formas e ir achando as identidades :)

[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=m\\
\prod_{k=1}^{m-1}\sen \frac{k\pi}{2m}=\frac{\sqrt{{m}}}{2^{m-1}}\\
\prod_{k=1}^{2m-1}\sen \frac{k\pi}{2m}=\(\frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}\)^2=\frac{m}{2^{2m-2}}[/tex3]

Com o mesmo processo que acima você consegue a resposta. Agora que sabemos desse resultado, veja:

[tex3]2^{2m-2}(-1)^{m-1}\prod_{k=1}^{m-1}\(x^2-\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m\\
2^{2m-2}\prod_{k=1}^{m-1}\(\sen^{2}\frac{k\pi}{2m}-x^2\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m\\
[/tex3]

Sabemos que o produto das raízes é [tex3]\frac{m}{2^{2m-2}}[/tex3] . Multiplicando e dividindo esse valor no lado esquerdo:

[tex3]\frac{\sen 2m\alpha}{2x\cos\alpha}=m\prod_{k=1}^{m-1}\(1-\frac{x^2}{\sen^2 \frac{k\pi}{2m}}\)=\[2^{2m-2}x^{2m-2}-(2m-2)2^{2m-4}x^{2m-4}\](-1)^{m-1}+\dots-\frac{m(m^2-1^2)}{3!}2^2x^2+m[/tex3]

O ruim é que tem que fazer pro caso ímpar também. :/



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