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Na figura M e N são pontos de tangência, O é o centro. Se: OF=a e OB=b, calcular: [tex3]\frac{S1}{S2}[/tex3] .

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Resposta

[tex3]\frac{a² -b²}{a}[/tex3]

Eu preciso ver algum material sobre esse tópico de círculos tangentes.

[tex3]\frac{S_1}{S_2} = \frac{MF}{OF}[/tex3] já que os triângulos 1 e 2 tem altura NH em comum.

precisa provar que a reta MN passa por B, não sei como por geometria plana. Se conseguir, poste aqui por favor.

seja [tex3]\alpha = \angle MON[/tex3] e r o raio da circunferência tangente ao semi circulo

[tex3]\sen (\alpha) = \frac{r}{b+r} \rightarrow r(1-\sen(\alpha)) = b \sen(\alpha)[/tex3]

[tex3]\cos(\alpha) = \frac{MF+a}{b+r} \rightarrow MF = (b+r)\cos(\alpha) - a[/tex3]

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[tex3]\frac{S_1}{S_2} = \frac{(b+r)\cos(\alpha) - a}{a} = \frac{b}a(1+\frac{\sen(\alpha)}{1-\sen(\alpha)})\cos(\alpha)-1[/tex3]

[tex3]= \frac {b\cos(\alpha)}{a(1-\sen(\alpha))} -1 [/tex3] **

como AON é isósceles:

[tex3]\angle OAN = 45 - \frac{\alpha}{2}[/tex3]

logo [tex3]\frac{a}b = tg(45 - \frac{\alpha}2) = \frac{1 - \tg (\frac{\alpha}2)}{1 + \tg(\frac{\alpha}2)} [/tex3]

[tex3]b - b\tg(\frac{\alpha}2) = a + a\tg(\frac{\alpha}2)[/tex3]

[tex3]\tg(\frac{\alpha}2) = \frac{b-a}{a+b} = \frac{\sen(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}[/tex3]

pode-se tirar que [tex3]\cos(\alpha) = \frac{2ab}{a^2+b^2}[/tex3] e [tex3]\sen(\alpha) = \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}[/tex3]

jogando em ** obtemos o gabarito com um a² no denominador ao invés de só a

na verdade descobri como ver por plana, de fato só chamando [tex3]\angle MON[/tex3] de [tex3]\alpha[/tex3]
os ângulos de MNF acabam dando os mesmos de AOF e ai é só usar a semelhança desses dois triangulos

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