[tex3]sec^4(\frac{\pi }{7})+sec^4(\frac{2\pi }{7})+sec^4(\frac{3\pi }{7})[/tex3]
Resposta
416
IME / ITA ⇒ (Simulado - ITA) Trigonometria Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2017
25
20:28
(Simulado - ITA) Trigonometria
Calcule o valor da expressão:
[tex3]sec^4(\frac{\pi }{7})+sec^4(\frac{2\pi }{7})+sec^4(\frac{3\pi }{7})[/tex3]
416
[tex3]sec^4(\frac{\pi }{7})+sec^4(\frac{2\pi }{7})+sec^4(\frac{3\pi }{7})[/tex3]
416
Última edição: Gu178 (Qua 25 Out, 2017 20:30). Total de 1 vez.
-
undefinied3 
- Mensagens: 1483
- Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
- Última visita: 30-09-22
Out 2017
25
21:10
Re: (Simulado - ITA) Trigonometria
Elevado à quarta é sacanagem...
[tex3]cos^2\frac{\pi}{7}+cos^2\frac{2\pi}{7}+cos^2\frac{3\pi}{7}=cos^2\frac{\pi}{7}+cos^2\frac{3\pi}{7}+cos^2\frac{5\pi}{7}[/tex3]
Então considere:
[tex3]7x=\pi \rightarrow 3x=\pi-4x \rightarrow cos(3x)+cos(4x)=0[/tex3]
[tex3][4cos^3(x)-3cos(x)]+[8cos^4(x)-8cos^2(x)+1]=0[/tex3]
[tex3]8t^4+4t^3-8t^2-3t+1=0[/tex3]
Cujas raízes são [tex3]cos\frac{\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{3\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{5\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{7\pi}{7}[/tex3] . A última é irrelevante e é o que torna o polinômio divisível por -1. Efetuando a divisão, obtemos
[tex3]8 t^3 - 4 t^2 - 4 t + 1=0[/tex3]
Cujas raízes são apenas [tex3]cos\frac{\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{3\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{5\pi}{7}[/tex3] .
Efetuando a transformação de elevar o grau das raízes ao quadrado:
[tex3]Q(t^2)=(-1)^3P(t)P(-t) \rightarrow Q(t^2)=64 t^6 - 80 t^4 + 24 t^2 - 1[/tex3]
[tex3]\therefore Q(t)=64 t^3 - 80 t^2 + 24 t^1 - 1[/tex3]
Repetindo o processo...
[tex3]T(t)=4096 t^3 - 3328 t^2 + 416 t^1 - 1[/tex3]
Aplicando a transformação recíproca, chegamos em
[tex3]U(x)=-t^3+416t^2-3328t+4096[/tex3]
Então a soma pedida é [tex3]-\frac{b}{a}=-\frac{-416}{1}=416[/tex3]
[tex3]cos^2\frac{\pi}{7}+cos^2\frac{2\pi}{7}+cos^2\frac{3\pi}{7}=cos^2\frac{\pi}{7}+cos^2\frac{3\pi}{7}+cos^2\frac{5\pi}{7}[/tex3]
Então considere:
[tex3]7x=\pi \rightarrow 3x=\pi-4x \rightarrow cos(3x)+cos(4x)=0[/tex3]
[tex3][4cos^3(x)-3cos(x)]+[8cos^4(x)-8cos^2(x)+1]=0[/tex3]
[tex3]8t^4+4t^3-8t^2-3t+1=0[/tex3]
Cujas raízes são [tex3]cos\frac{\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{3\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{5\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{7\pi}{7}[/tex3] . A última é irrelevante e é o que torna o polinômio divisível por -1. Efetuando a divisão, obtemos
[tex3]8 t^3 - 4 t^2 - 4 t + 1=0[/tex3]
Cujas raízes são apenas [tex3]cos\frac{\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{3\pi}{7}[/tex3] [tex3]cos\frac{5\pi}{7}[/tex3] .
Efetuando a transformação de elevar o grau das raízes ao quadrado:
[tex3]Q(t^2)=(-1)^3P(t)P(-t) \rightarrow Q(t^2)=64 t^6 - 80 t^4 + 24 t^2 - 1[/tex3]
[tex3]\therefore Q(t)=64 t^3 - 80 t^2 + 24 t^1 - 1[/tex3]
Repetindo o processo...
[tex3]T(t)=4096 t^3 - 3328 t^2 + 416 t^1 - 1[/tex3]
Aplicando a transformação recíproca, chegamos em
[tex3]U(x)=-t^3+416t^2-3328t+4096[/tex3]
Então a soma pedida é [tex3]-\frac{b}{a}=-\frac{-416}{1}=416[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
jrneliodias 
- Mensagens: 2578
- Registrado em: Sáb 16 Jun, 2012 17:15
- Última visita: 23-05-22
- Localização: Belém - PA
Out 2017
25
21:22
Re: (Simulado - ITA) Trigonometria
Como chegou a essa conclusão?
undefinied3 escreveu: ↑Qua 25 Out, 2017 21:10[tex3]cos^2\frac{\pi}{7}+cos^2\frac{2\pi}{7}+cos^2\frac{3\pi}{7}=cos^2\frac{\pi}{7}+cos^2\frac{3\pi}{7}+cos^2\frac{5\pi}{7}[/tex3]
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
-
undefinied3
- Mensagens: 1483
- Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
- Última visita: 30-09-22
Out 2017
25
21:23
Re: (Simulado - ITA) Trigonometria
Porque [tex3]cos\frac{2\pi}{7}=-cos \frac{5\pi}{7}[/tex3]
, então ao quadrado eles são iguais.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
