[tex3]Seja\ a\ \in \ \mathbb{R},\ a>1.\ Para\ que: [/tex3]
[tex3][/tex3]
[tex3]]4,5[=\{ x\in\mathbb{R}, \ log_{\frac{1}{a}}(\log_{a}(x^{2}-15))>0\} [/tex3]
[tex3][/tex3]
[tex3]o\ valor\ de \ a\ é:[/tex3]
[tex3][/tex3]
[tex3]a)2[/tex3]
[tex3]b)3[/tex3]
[tex3]c)5[/tex3]
[tex3]d)9[/tex3]
[tex3]e)10[/tex3]
IME / ITA ⇒ (ITA, 1996) Logaritmo Tópico resolvido
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(ITA, 1996) Logaritmo
Última edição: LucasPinafi (Sáb 21 Out, 2017 12:24). Total de 2 vezes.
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Out 2017
20
19:10
Re: (ITA) Logaritmo
Olá, jovem.
Temos que
[tex3]\log_{\frac{1}{a}}(\log_{a}(x^{2}-15))>0[/tex3]
Como [tex3]\,\,a>1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,0<\frac{1}{a}<1\,\,[/tex3] , logo
[tex3]\log_{\frac{1}{a}}(\log_{a}(x^{2}-15))>0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\log_{a}(x^{2}-15)<1[/tex3]
Analogamente, [tex3]a>1[/tex3] , então
[tex3]\log_{a}(x^{2}-15)<1\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,x^{2}-15< a\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,x^{2}-(15+a)<\, 0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,-\sqrt{a+15}\, < \,x\, < \,\sqrt{a+15}[/tex3]
Por outro lado, temos a condição de existência,
[tex3]1)\,\,\,\log_{a}(x^{2}-15)\,\,\in\,\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,x^2-15>0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,x<-\sqrt{15} \,\,\,ou\,\,\,\,x>\sqrt {15}[/tex3]
[tex3]2)\,\,\,\log_\frac{1}{a}\left[\log_{a}(x^{2}-15)\right]\,\,\in\,\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\log_a(x^2-15)>0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,x<-4 \,\,\,ou\,\,\,\,x>4[/tex3]
Com base em [tex3]\,\,(1)\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,(2)\,\,[/tex3] , nossa condição de existência será [tex3]\,\,x<-4 \,\,\,ou\,\,\,\,x>4\,\,[/tex3]
Portanto, para forçar o intervarlo [tex3]\,\,-\sqrt{a+15}\, < \,x\, < \,\sqrt{a+15}\,\,[/tex3] ser [tex3]\,\,]\,4,\,5\,[\,\,[/tex3] , teremos [tex3]a=10[/tex3] , pois obteremos
[tex3]\,\,-\sqrt{25}\, < \,x\, < \,\sqrt{25}\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,-5\, < \,x\, < \,5[/tex3]
Mas, com a condição de existência, [tex3]\,\,x<-4 \,\,\,ou\,\,\,\,x>4\,\,[/tex3] , a interseção será
[tex3]\,\,4\, < \,x\, < \,5\,\,[/tex3]
Portanto, [tex3]a= 10[/tex3] é a resposta.
Espero ter ajudado. Abraço.
Temos que
[tex3]\log_{\frac{1}{a}}(\log_{a}(x^{2}-15))>0[/tex3]
Como [tex3]\,\,a>1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,0<\frac{1}{a}<1\,\,[/tex3] , logo
[tex3]\log_{\frac{1}{a}}(\log_{a}(x^{2}-15))>0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\log_{a}(x^{2}-15)<1[/tex3]
Analogamente, [tex3]a>1[/tex3] , então
[tex3]\log_{a}(x^{2}-15)<1\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,x^{2}-15< a\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,x^{2}-(15+a)<\, 0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,-\sqrt{a+15}\, < \,x\, < \,\sqrt{a+15}[/tex3]
Por outro lado, temos a condição de existência,
[tex3]1)\,\,\,\log_{a}(x^{2}-15)\,\,\in\,\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,x^2-15>0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,x<-\sqrt{15} \,\,\,ou\,\,\,\,x>\sqrt {15}[/tex3]
[tex3]2)\,\,\,\log_\frac{1}{a}\left[\log_{a}(x^{2}-15)\right]\,\,\in\,\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\log_a(x^2-15)>0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,x<-4 \,\,\,ou\,\,\,\,x>4[/tex3]
Com base em [tex3]\,\,(1)\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,(2)\,\,[/tex3] , nossa condição de existência será [tex3]\,\,x<-4 \,\,\,ou\,\,\,\,x>4\,\,[/tex3]
Portanto, para forçar o intervarlo [tex3]\,\,-\sqrt{a+15}\, < \,x\, < \,\sqrt{a+15}\,\,[/tex3] ser [tex3]\,\,]\,4,\,5\,[\,\,[/tex3] , teremos [tex3]a=10[/tex3] , pois obteremos
[tex3]\,\,-\sqrt{25}\, < \,x\, < \,\sqrt{25}\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,\,-5\, < \,x\, < \,5[/tex3]
Mas, com a condição de existência, [tex3]\,\,x<-4 \,\,\,ou\,\,\,\,x>4\,\,[/tex3] , a interseção será
[tex3]\,\,4\, < \,x\, < \,5\,\,[/tex3]
Portanto, [tex3]a= 10[/tex3] é a resposta.
Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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Out 2017
20
21:09
Re: (ITA) Logaritmo
[tex3]Fiquei\ horas\ preso\ nessa\ questão\ e\ não\ achava\ a\ solução\ em\ lugar\ algum.\ Muito\ obrigado\ pela\ resposta,\ foi\ muito\ bem\ explicada. [/tex3]
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Out 2017
21
12:12
Re: (ITA) Logaritmo
Emmanuelhfc, você teria o ano da questão? Assim, poderíamos colocar no título e outras pessoas que possuíssem dificuldade, chegariam aqui pelo Google mais rápido.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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