- Triângulo 001.jpg (39.78 KiB) Exibido 849 vezes
A) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{2}\,\,[/tex3]
B) [tex3]\,\,(a+b) c[/tex3]
c) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{4}\,\,[/tex3]
d) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{3}\,\,[/tex3]
e) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{5}\,\,[/tex3]
IME / ITA ⇒ Nivelamento IME/ITA
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Flavio2020 
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Out 2017
20
16:00
Nivelamento IME/ITA
Na figura abaixo, calcular a area da região sombreada: se: [tex3]\,\,ML=LN\,\,[/tex3]
, [tex3]\,\,PM=a\,\,[/tex3]
, [tex3]\,\,NQ=b\,\,[/tex3]
, [tex3]\,\,AC=c\,\,[/tex3]
A) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{2}\,\,[/tex3]
B) [tex3]\,\,(a+b) c[/tex3]
c) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{4}\,\,[/tex3]
d) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{3}\,\,[/tex3]
e) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{5}\,\,[/tex3]
A) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{2}\,\,[/tex3]
B) [tex3]\,\,(a+b) c[/tex3]
c) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{4}\,\,[/tex3]
d) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{3}\,\,[/tex3]
e) [tex3]\,\,\frac{(a+b) c}{5}\,\,[/tex3]
Última edição: jrneliodias (Sáb 21 Out, 2017 17:37). Total de 2 vezes.
Razão: Inserir Tex
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Out 2017
22
14:09
Re: Nivelamento IME/ITA
- Triângulo 001.jpg (71.13 KiB) Exibido 804 vezes
então o triangulo [tex3]\Delta LBN[/tex3] é isóceles com [tex3]\hat{LBN}=\hat{LNB}[/tex3]
por semelhança dos triângulos [tex3]\Delta MNB[/tex3] e [tex3]\Delta APM[/tex3] temos que
[tex3]\hat{PAM}=\hat{LNB}[/tex3]
por semelhança dos triângulos [tex3]\Delta BCD[/tex3] e [tex3]\Delta ABD[/tex3] temos que
[tex3]\hat{BAD}=\hat{LBN}[/tex3]
portanto
[tex3]\hat{PAM}=\hat{LNB}=\hat{LBN}=\hat{BAD}[/tex3]
logo os triângulos [tex3]\Delta APM[/tex3] e [tex3]\Delta APE[/tex3] são iguais então
[tex3]PM=EM=a[/tex3]
da mesma forma por relações de semelhança de triângulos pode-se chegar em
[tex3]QN=FN=b[/tex3]
temos também que
[tex3]LD=EM+ML.\cos\theta[/tex3]
[tex3]LD=a+ML.\cos\theta[/tex3]
[tex3]LD=FN-NL.\cos\theta[/tex3]
[tex3]LD=b-NL.\cos\theta[/tex3]
portanto
[tex3]2LD=a+B+ML.\cos\theta-NL.\cos\theta[/tex3]
mas como [tex3]ML=NL[/tex3]
[tex3]LD=\frac{a+b}{2}[/tex3]
sendo esta a altura do triângulo então a área será
[tex3]Area=\frac{(a+b).c}{4}[/tex3]
-
jrneliodias 
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Out 2017
22
14:14
Re: Nivelamento IME/ITA
Olá, Flávio.
Definido [tex3]\,\,\alpha +\beta = 90º\,\,[/tex3] , seja [tex3]\,\,\angle\,PAM=\alpha\,\,[/tex3] , então [tex3]\,\,\angle\,BML=\beta\,\,[/tex3] . Como [tex3]\,\,LM=LN\,\,[/tex3] temos que [tex3]\,\,BL\,\,[/tex3] é mediana e ela é metade da hipotenusa. Dessa forma, [tex3]\,\,\angle\,MBL=\beta\,\,[/tex3] .
O triângulo [tex3]\,\,\triangle\,BAE\,\,[/tex3] é retângulo, logo [tex3]\,\,\angle\,BAE=\alpha\,\,[/tex3] .
Além disso, [tex3]\,\,\angle\,LBN=\alpha\,\,[/tex3] , logo [tex3]\,\,\angle\,QNC=\alpha\,\,[/tex3] e o triângulo [tex3]\,\,\triangle\,NQC\,\,[/tex3] é retângulo, assim [tex3]\,\,\angle\,QCN=\beta\,\,[/tex3] .
Por outro lado, o triângulo [tex3]\,\,\triangle\,BEC\,\,[/tex3] também é retângulo, por isso [tex3]\,\,\angle\,BCE=\beta\,\,[/tex3]
Observados esse ângulos, temos que [tex3]\,\,\triangle\,PAM\equiv \triangle\,AMK\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,\triangle\,NGC\equiv\triangle\,NQC\,\,[/tex3] pelo caso ALA. Assim, [tex3]\,\,MK=a\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,NG=b\,\,[/tex3] .
Por fim, temos que [tex3]\,\,MK//NG\,\,[/tex3] , então o quadrilátero [tex3]MKGN[/tex3] é um trapézio. Como [tex3]\,\,LM =LN\,\,[/tex3] , temos que [tex3]\,\,LE\,\,[/tex3] é base média do trapézio, portanto
[tex3]\,\,LE=\frac{MK+NG}{2}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,LE=\frac{a+b}{2}[/tex3]
Desse modo, a área desejada será
[tex3]S= \frac{AC\cdot LE}{2}=\boxed{\frac{c\,(a+b)}{4}}[/tex3]
Essa questão é um poema
Os fatos casam bem diretinho.
Espero ter ajudado. Abraço.
- Capturar.PNG (16.95 KiB) Exibido 804 vezes
Definido [tex3]\,\,\alpha +\beta = 90º\,\,[/tex3] , seja [tex3]\,\,\angle\,PAM=\alpha\,\,[/tex3] , então [tex3]\,\,\angle\,BML=\beta\,\,[/tex3] . Como [tex3]\,\,LM=LN\,\,[/tex3] temos que [tex3]\,\,BL\,\,[/tex3] é mediana e ela é metade da hipotenusa. Dessa forma, [tex3]\,\,\angle\,MBL=\beta\,\,[/tex3] .
O triângulo [tex3]\,\,\triangle\,BAE\,\,[/tex3] é retângulo, logo [tex3]\,\,\angle\,BAE=\alpha\,\,[/tex3] .
Além disso, [tex3]\,\,\angle\,LBN=\alpha\,\,[/tex3] , logo [tex3]\,\,\angle\,QNC=\alpha\,\,[/tex3] e o triângulo [tex3]\,\,\triangle\,NQC\,\,[/tex3] é retângulo, assim [tex3]\,\,\angle\,QCN=\beta\,\,[/tex3] .
Por outro lado, o triângulo [tex3]\,\,\triangle\,BEC\,\,[/tex3] também é retângulo, por isso [tex3]\,\,\angle\,BCE=\beta\,\,[/tex3]
Observados esse ângulos, temos que [tex3]\,\,\triangle\,PAM\equiv \triangle\,AMK\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,\triangle\,NGC\equiv\triangle\,NQC\,\,[/tex3] pelo caso ALA. Assim, [tex3]\,\,MK=a\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,NG=b\,\,[/tex3] .
Por fim, temos que [tex3]\,\,MK//NG\,\,[/tex3] , então o quadrilátero [tex3]MKGN[/tex3] é um trapézio. Como [tex3]\,\,LM =LN\,\,[/tex3] , temos que [tex3]\,\,LE\,\,[/tex3] é base média do trapézio, portanto
[tex3]\,\,LE=\frac{MK+NG}{2}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,LE=\frac{a+b}{2}[/tex3]
Desse modo, a área desejada será
[tex3]S= \frac{AC\cdot LE}{2}=\boxed{\frac{c\,(a+b)}{4}}[/tex3]
Essa questão é um poema
Os fatos casam bem diretinho.Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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