IME / ITA ⇒ (Simulado IME) Progressão Aritmética Tópico resolvido

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A diferença entre o penúltimo termo é o primeiro termo de uma progressão aritmética é 24. A soma de todos os termos é 102. A diferença entre quaisquer dois termos adjacentes é o triplo do primeiro termo. Calcule a razão dessa progressão:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.

[LucasPinafi]

Suponha que tenha n termos:
[tex3]a_{n-1} = a_1 +(n-2) r \therefore a_{n-1} - a_1 =(n-2) r = 24 \Longrightarrow (n-2) r = 24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{n-1} = a_1 +(n-2) r \therefore a_{n-1} - a_1 =(n-2) r = 24 \Longrightarrow (n-2) r = 24[/tex3]

(i);
[tex3]a_1 + a_2 +\cdots +a_n = \frac{n(2a_1 + (n-1) r )}{2} = 102 \Longrightarrow n(2a_1 +(n-1) r) = 204[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_1 + a_2 +\cdots +a_n = \frac{n(2a_1 + (n-1) r )}{2} = 102 \Longrightarrow n(2a_1 +(n-1) r) = 204[/tex3]

(ii);
[tex3]r = 3a_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r = 3a_1[/tex3]

(iii);
Colocando (iii) em (ii), segue que:
[tex3]n \left( \frac 2 3 r + (n-1) r \right) = n r\left(-\frac 1 3 + n \right) = 204[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n \left( \frac 2 3 r + (n-1) r \right) = n r\left(-\frac 1 3 + n \right) = 204[/tex3]

. Como, de (i) [tex3]nr = 24 + 2r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]nr = 24 + 2r[/tex3]

, de modo que: [tex3](24+2r) \left( -\frac{1}{3} + \frac{24+2r}{r}\right) = 204 \therefore r = 6 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](24+2r) \left( -\frac{1}{3} + \frac{24+2r}{r}\right) = 204 \therefore r = 6 [/tex3]

(tem uma outra raiz também, mas não é inteira).