IME / ITA ⇒ (IME) Lugar Geométrico Tópico resolvido

[undefinied3]

Essa é legal

Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pela interseção da cônica [tex3]5x^2-6xy+5y^2-4x-4y-4=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x^2-6xy+5y^2-4x-4y-4=0[/tex3]

com as retas de coeficiente angular igual a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Resposta

---

7x-y-6=0

[Andre13000]

Eu fiz do seguinte modo:

[tex3]y=\frac{x}{2}+b[/tex3]

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[tex3]y=\frac{x}{2}+b[/tex3]

Depois substitui direto na equação. Usei girard para achar as soma das raízes e dividi por 2. Além disso, inverti a relação e isolei x na expressão acima, procedendo de mesma maneira. O problema é que a parametrização da equação não bate com o seu resultado.

[tex3]x=\frac{4b+24}{26}\\
y=\frac{28b+12}{26}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{4b+24}{26}\\
y=\frac{28b+12}{26}[/tex3]

Pode verificar o gabarito?

[undefinied3]

O gabarito tá certinho sim.
E sua parametrização dá sim o gabarito

[jrneliodias]

Olá,

Tomando todas as retas com coeficiente angular [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

, temos

[tex3]y=\frac{x}{2}+k[/tex3]

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[tex3]y=\frac{x}{2}+k[/tex3]

[tex3]x= 2y-2k\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]

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[tex3]x= 2y-2k\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]

Substituindo na equação, temos

[tex3]5(2y-2k)^2-6(2y-2k)y+5y^2-4(2y-2k)-4y-4=0[/tex3]

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[tex3]5(2y-2k)^2-6(2y-2k)y+5y^2-4(2y-2k)-4y-4=0[/tex3]

[tex3]13y^2-(28k+12)y+20k^2+8k-4=0\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]

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[tex3]13y^2-(28k+12)y+20k^2+8k-4=0\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]

Se [tex3]y_1[/tex3]

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[tex3]y_1[/tex3]

e [tex3]y_2[/tex3]

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[tex3]y_2[/tex3]

são raizes dessa equação, combinando com a equação [tex3](1)[/tex3]

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[tex3](1)[/tex3]

, obtemos os pontos de interseções [tex3](2y_1-2k,\,y_1)[/tex3]

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[tex3](2y_1-2k,\,y_1)[/tex3]

e [tex3](2y_2-2k,\,y_2)[/tex3]

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[tex3](2y_2-2k,\,y_2)[/tex3]

. Porém, queremos o lugar geométrico do ponto médio, então devemos determiná-lo.

[tex3](x,\,y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]

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[tex3](x,\,y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]

[tex3](x,\,y)=\left(y_1+y_2-2k,\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]

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[tex3](x,\,y)=\left(y_1+y_2-2k,\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]

Da equação [tex3](2)[/tex3]

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[tex3](2)[/tex3]

, obtemos que

[tex3]y_1+y_2=-\frac{b}{a} = \frac{28k+12}{13}[/tex3]

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[tex3]y_1+y_2=-\frac{b}{a} = \frac{28k+12}{13}[/tex3]

Substituindo na equação anterior,

[tex3](x,\,y)=\left( \frac{28k+12}{13}-2k,\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]

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[tex3](x,\,y)=\left( \frac{28k+12}{13}-2k,\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]

[tex3](x,\,y)=\left( \frac{2k+12}{13},\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]

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[tex3](x,\,y)=\left( \frac{2k+12}{13},\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]

Então,

[tex3]7x=\frac{14k+12\cdot 7}{13}[/tex3]

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[tex3]7x=\frac{14k+12\cdot 7}{13}[/tex3]

[tex3]y= \frac{14k+6}{13}[/tex3]

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[tex3]y= \frac{14k+6}{13}[/tex3]

Fazendo a diferença,


[tex3]7x-y=6[/tex3]

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[tex3]7x-y=6[/tex3]

Portanto, o lugar geométrico é uma reta.

Espero ter ajudado. Abraço.

[Andre13000]

Hmm, acho que tenho que melhorar minha aritmética então kkkkkkkkkk

[undefinied3]

Vou deixar minha solução por rotação que é um pouco mais trabalhosa, mas eu gosto do assunto.
Primeiramente encontramos o centro da cônica:
[tex3]\begin{cases}
10x-6y-4=0 \\
-6x+10y-4=0
\end{cases} \rightarrow x=y=1[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
10x-6y-4=0 \\
-6x+10y-4=0
\end{cases} \rightarrow x=y=1[/tex3]

Substituindo [tex3]x=y=1[/tex3]

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[tex3]x=y=1[/tex3]

na expressão da cônica, encontramos [tex3]-8[/tex3]

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[tex3]-8[/tex3]

, de modo que temos então [tex3]5x^2-6xy+5y^2-8=0[/tex3]

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[tex3]5x^2-6xy+5y^2-8=0[/tex3]

Então, rotacionamos:
[tex3]\begin{cases}
A'+C'=10 \\
-4A'C'=-64
\end{cases} \rightarrow A'=2, \ C'=8[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
A'+C'=10 \\
-4A'C'=-64
\end{cases} \rightarrow A'=2, \ C'=8[/tex3]

E terminamos com [tex3]2x^2+8y^2-8=0 \rightarrow \frac{x^2}{4}+y^2=1[/tex3]

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[tex3]2x^2+8y^2-8=0 \rightarrow \frac{x^2}{4}+y^2=1[/tex3]

, uma elipse com eixo maior na horizontal.
Identificando o ângulo de rotação, [tex3]tg2\theta=\frac{-6}{5-5} \rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]tg2\theta=\frac{-6}{5-5} \rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Então rotacionamos 45 graus no sentido horário. A reta que antes tinha coeficiente angular [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

agora terá [tex3]\frac{\frac{1}{2}-1}{1+1.\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{1}{2}-1}{1+1.\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}[/tex3]

como coeficiente angular.
Sabendo que é uma elipse, é imediato o fato de que o lugar geométrico pedido é uma reta, pois os pontos de interseção de uma reta com a elipse são todos simétricos em relação a um eixo, que é justamente o LG pedido. Resta defini-la. Para isso, basta notar que essa reta possui os dois pontos de tangência da elipse com as retas de coeficiente angular [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]-\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2x}{4}+2yy'=0 \rightarrow y'=-\frac{x}{4y} \rightarrow \frac{1}{3}=\frac{x_0}{4y_0} \rightarrow y_0=\frac{3x_0}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{2x}{4}+2yy'=0 \rightarrow y'=-\frac{x}{4y} \rightarrow \frac{1}{3}=\frac{x_0}{4y_0} \rightarrow y_0=\frac{3x_0}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{4x_0^2}{16}+\frac{9x_0^2}{16}=1 \rightarrow x_0^2=\frac{16}{13} \rightarrow x_0= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\frac{4x_0^2}{16}+\frac{9x_0^2}{16}=1 \rightarrow x_0^2=\frac{16}{13} \rightarrow x_0= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}[/tex3]

, de modo que [tex3]y_0=\pm \frac{3}{\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]y_0=\pm \frac{3}{\sqrt{3}}[/tex3]

A reta terá coeficiente angular [tex3]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}[/tex3]

(engraçado, apareceu o triângulo 3 4 5)
Voltando pro referencial original: [tex3]m=\frac{1+\frac{3}{4}}{1-1.\frac{3}{4}}=7[/tex3]

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[tex3]m=\frac{1+\frac{3}{4}}{1-1.\frac{3}{4}}=7[/tex3]

Essa reta deve passar pelo centro da cônica identificado anteriormente, assim:
[tex3]y-1=7(x-1)[/tex3]

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[tex3]y-1=7(x-1)[/tex3]

[tex3]\therefore 7x-y-6=0[/tex3]

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[tex3]\therefore 7x-y-6=0[/tex3]