Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pela interseção da cônica [tex3]5x^2-6xy+5y^2-4x-4y-4=0[/tex3] com as retas de coeficiente angular igual a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
Resposta
7x-y-6=0
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ (IME) Lugar Geométrico Tópico resolvido
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undefinied3
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Out 2017
09
20:17
(IME) Lugar Geométrico
Essa é legal
Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pela interseção da cônica [tex3]5x^2-6xy+5y^2-4x-4y-4=0[/tex3] com as retas de coeficiente angular igual a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
7x-y-6=0
Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pela interseção da cônica [tex3]5x^2-6xy+5y^2-4x-4y-4=0[/tex3] com as retas de coeficiente angular igual a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
7x-y-6=0
Editado pela última vez por undefinied3 em 09 Out 2017, 20:19, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Andre13000
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Out 2017
10
20:36
Re: (IME) Lugar Geométrico
Eu fiz do seguinte modo:
[tex3]y=\frac{x}{2}+b[/tex3]
Depois substitui direto na equação. Usei girard para achar as soma das raízes e dividi por 2. Além disso, inverti a relação e isolei x na expressão acima, procedendo de mesma maneira. O problema é que a parametrização da equação não bate com o seu resultado.
[tex3]x=\frac{4b+24}{26}\\
y=\frac{28b+12}{26}[/tex3]
Pode verificar o gabarito?
[tex3]y=\frac{x}{2}+b[/tex3]
Depois substitui direto na equação. Usei girard para achar as soma das raízes e dividi por 2. Além disso, inverti a relação e isolei x na expressão acima, procedendo de mesma maneira. O problema é que a parametrização da equação não bate com o seu resultado.
[tex3]x=\frac{4b+24}{26}\\
y=\frac{28b+12}{26}[/tex3]
Pode verificar o gabarito?
Editado pela última vez por Andre13000 em 10 Out 2017, 20:41, em um total de 1 vez.
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undefinied3
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Out 2017
10
21:10
Re: (IME) Lugar Geométrico
O gabarito tá certinho sim.
E sua parametrização dá sim o gabarito
E sua parametrização dá sim o gabarito
Editado pela última vez por undefinied3 em 10 Out 2017, 21:12, em um total de 1 vez.
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jrneliodias
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Out 2017
10
21:16
Re: (IME) Lugar Geométrico
Olá,
Tomando todas as retas com coeficiente angular [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] , temos
[tex3]y=\frac{x}{2}+k[/tex3]
[tex3]x= 2y-2k\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]
Substituindo na equação, temos
[tex3]5(2y-2k)^2-6(2y-2k)y+5y^2-4(2y-2k)-4y-4=0[/tex3]
[tex3]13y^2-(28k+12)y+20k^2+8k-4=0\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]
Se [tex3]y_1[/tex3] e [tex3]y_2[/tex3] são raizes dessa equação, combinando com a equação [tex3](1)[/tex3] , obtemos os pontos de interseções [tex3](2y_1-2k,\,y_1)[/tex3] e [tex3](2y_2-2k,\,y_2)[/tex3] . Porém, queremos o lugar geométrico do ponto médio, então devemos determiná-lo.
[tex3](x,\,y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]
[tex3](x,\,y)=\left(y_1+y_2-2k,\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]
Da equação [tex3](2)[/tex3] , obtemos que
[tex3]y_1+y_2=-\frac{b}{a} = \frac{28k+12}{13}[/tex3]
Substituindo na equação anterior,
[tex3](x,\,y)=\left( \frac{28k+12}{13}-2k,\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]
[tex3](x,\,y)=\left( \frac{2k+12}{13},\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]
Então,
[tex3]7x=\frac{14k+12\cdot 7}{13}[/tex3]
[tex3]y= \frac{14k+6}{13}[/tex3]
Fazendo a diferença,
[tex3]7x-y=6[/tex3]
Portanto, o lugar geométrico é uma reta.
Espero ter ajudado. Abraço.
Tomando todas as retas com coeficiente angular [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] , temos
[tex3]y=\frac{x}{2}+k[/tex3]
[tex3]x= 2y-2k\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]
Substituindo na equação, temos
[tex3]5(2y-2k)^2-6(2y-2k)y+5y^2-4(2y-2k)-4y-4=0[/tex3]
[tex3]13y^2-(28k+12)y+20k^2+8k-4=0\,\,\,\cdots\,\,\,\,(1)[/tex3]
Se [tex3]y_1[/tex3] e [tex3]y_2[/tex3] são raizes dessa equação, combinando com a equação [tex3](1)[/tex3] , obtemos os pontos de interseções [tex3](2y_1-2k,\,y_1)[/tex3] e [tex3](2y_2-2k,\,y_2)[/tex3] . Porém, queremos o lugar geométrico do ponto médio, então devemos determiná-lo.
[tex3](x,\,y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]
[tex3](x,\,y)=\left(y_1+y_2-2k,\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)[/tex3]
Da equação [tex3](2)[/tex3] , obtemos que
[tex3]y_1+y_2=-\frac{b}{a} = \frac{28k+12}{13}[/tex3]
Substituindo na equação anterior,
[tex3](x,\,y)=\left( \frac{28k+12}{13}-2k,\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]
[tex3](x,\,y)=\left( \frac{2k+12}{13},\, \frac{14k+6}{13}\right)[/tex3]
Então,
[tex3]7x=\frac{14k+12\cdot 7}{13}[/tex3]
[tex3]y= \frac{14k+6}{13}[/tex3]
Fazendo a diferença,
[tex3]7x-y=6[/tex3]
Portanto, o lugar geométrico é uma reta.
Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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Andre13000
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Out 2017
10
21:18
Re: (IME) Lugar Geométrico
Hmm, acho que tenho que melhorar minha aritmética então kkkkkkkkkk
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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undefinied3
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Out 2017
10
21:29
Re: (IME) Lugar Geométrico
Vou deixar minha solução por rotação que é um pouco mais trabalhosa, mas eu gosto do assunto.
Primeiramente encontramos o centro da cônica:
[tex3]\begin{cases}
10x-6y-4=0 \\
-6x+10y-4=0
\end{cases} \rightarrow x=y=1[/tex3]
Substituindo [tex3]x=y=1[/tex3] na expressão da cônica, encontramos [tex3]-8[/tex3] , de modo que temos então [tex3]5x^2-6xy+5y^2-8=0[/tex3]
Então, rotacionamos:
[tex3]\begin{cases}
A'+C'=10 \\
-4A'C'=-64
\end{cases} \rightarrow A'=2, \ C'=8[/tex3]
E terminamos com [tex3]2x^2+8y^2-8=0 \rightarrow \frac{x^2}{4}+y^2=1[/tex3] , uma elipse com eixo maior na horizontal.
Identificando o ângulo de rotação, [tex3]tg2\theta=\frac{-6}{5-5} \rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}[/tex3]
Então rotacionamos 45 graus no sentido horário. A reta que antes tinha coeficiente angular [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] agora terá [tex3]\frac{\frac{1}{2}-1}{1+1.\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}[/tex3] como coeficiente angular.
Sabendo que é uma elipse, é imediato o fato de que o lugar geométrico pedido é uma reta, pois os pontos de interseção de uma reta com a elipse são todos simétricos em relação a um eixo, que é justamente o LG pedido. Resta defini-la. Para isso, basta notar que essa reta possui os dois pontos de tangência da elipse com as retas de coeficiente angular [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{2x}{4}+2yy'=0 \rightarrow y'=-\frac{x}{4y} \rightarrow \frac{1}{3}=\frac{x_0}{4y_0} \rightarrow y_0=\frac{3x_0}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{4x_0^2}{16}+\frac{9x_0^2}{16}=1 \rightarrow x_0^2=\frac{16}{13} \rightarrow x_0= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}[/tex3] , de modo que [tex3]y_0=\pm \frac{3}{\sqrt{3}}[/tex3]
A reta terá coeficiente angular [tex3]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}[/tex3] (engraçado, apareceu o triângulo 3 4 5)
Voltando pro referencial original: [tex3]m=\frac{1+\frac{3}{4}}{1-1.\frac{3}{4}}=7[/tex3]
Essa reta deve passar pelo centro da cônica identificado anteriormente, assim:
[tex3]y-1=7(x-1)[/tex3]
[tex3]\therefore 7x-y-6=0[/tex3]
Primeiramente encontramos o centro da cônica:
[tex3]\begin{cases}
10x-6y-4=0 \\
-6x+10y-4=0
\end{cases} \rightarrow x=y=1[/tex3]
Substituindo [tex3]x=y=1[/tex3] na expressão da cônica, encontramos [tex3]-8[/tex3] , de modo que temos então [tex3]5x^2-6xy+5y^2-8=0[/tex3]
Então, rotacionamos:
[tex3]\begin{cases}
A'+C'=10 \\
-4A'C'=-64
\end{cases} \rightarrow A'=2, \ C'=8[/tex3]
E terminamos com [tex3]2x^2+8y^2-8=0 \rightarrow \frac{x^2}{4}+y^2=1[/tex3] , uma elipse com eixo maior na horizontal.
Identificando o ângulo de rotação, [tex3]tg2\theta=\frac{-6}{5-5} \rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}[/tex3]
Então rotacionamos 45 graus no sentido horário. A reta que antes tinha coeficiente angular [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] agora terá [tex3]\frac{\frac{1}{2}-1}{1+1.\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3}[/tex3] como coeficiente angular.
Sabendo que é uma elipse, é imediato o fato de que o lugar geométrico pedido é uma reta, pois os pontos de interseção de uma reta com a elipse são todos simétricos em relação a um eixo, que é justamente o LG pedido. Resta defini-la. Para isso, basta notar que essa reta possui os dois pontos de tangência da elipse com as retas de coeficiente angular [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{2x}{4}+2yy'=0 \rightarrow y'=-\frac{x}{4y} \rightarrow \frac{1}{3}=\frac{x_0}{4y_0} \rightarrow y_0=\frac{3x_0}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{4x_0^2}{16}+\frac{9x_0^2}{16}=1 \rightarrow x_0^2=\frac{16}{13} \rightarrow x_0= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}[/tex3] , de modo que [tex3]y_0=\pm \frac{3}{\sqrt{3}}[/tex3]
A reta terá coeficiente angular [tex3]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}[/tex3] (engraçado, apareceu o triângulo 3 4 5)
Voltando pro referencial original: [tex3]m=\frac{1+\frac{3}{4}}{1-1.\frac{3}{4}}=7[/tex3]
Essa reta deve passar pelo centro da cônica identificado anteriormente, assim:
[tex3]y-1=7(x-1)[/tex3]
[tex3]\therefore 7x-y-6=0[/tex3]
Editado pela última vez por undefinied3 em 10 Out 2017, 21:31, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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