IME / ITA(EPCAr) Função Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:17906)
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Out 2017 01 15:51

(EPCAr) Função

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Se [tex3]bx^{2}+bx>-1-\frac{3}{b}[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real, então a soma dos valores inteiros de [tex3]b[/tex3] é igual a:
a) [tex3]4.[/tex3]
b) [tex3]6.[/tex3]
c) [tex3]13.[/tex3]
d) [tex3]15.[/tex3]
Resposta

Letra d)




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csmarcelo
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

Vou trocar [tex3]b[/tex3] por [tex3]p[/tex3] para não confundir o coeficiente com a incógnita.

[tex3]px^{2}+px>-1-\frac{3}{p}[/tex3]

[tex3]px^{2}+px+1+\frac{3}{p}>0[/tex3]

[tex3]a=p[/tex3]
[tex3]b=p[/tex3]
[tex3]c=1+\frac{3}{p}[/tex3]

[tex3]\Delta=p^2-4b\(1+\frac{3}{p}\)=p^2-4p-12[/tex3]

Para que a equação original seja verdadeira para todo [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3] , devemos ter:

1) [tex3]p>0[/tex3]

2) [tex3]p^2-4p-12<0\rightarrow-2<p<6[/tex3]

Da interseção, concluímos que [tex3]p\in\{1,2,3,4,5\}[/tex3]




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leomaxwell
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por leomaxwell »

Olá, csmarcelo,
Como vc chegou a essas 2 restrições? Obrigado!


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csmarcelo
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

Sobre a condição (1)

Se [tex3]a>0[/tex3] , a equação determina uma parábola com concavidade para cima no plano cartesiano.
Se [tex3]a<0[/tex3] , a equação determina uma parábola com concavidade para baixo no plano cartesiano.

Repare que, a partir dessa análise, apenas uma equação com o coeficiente [tex3]a>0[/tex3] permitirá que todos os valores que ela pode assumir sejam positivos. Invariavelmente, uma parábola com a concavidade para baixo ultrapassará o eixo das abcissas, o que se reflete em valores negativos para a equação correspondente.

Sobre a condição (2)

se [tex3]\Delta>0[/tex3] , a equação possui duas raízes reais e distintas, ou seja, que fazem com que a equação possua valor zero.
se [tex3]\Delta=0[/tex3] , a equação possui duas raízes reais e iguais, ou seja, que faz com que a equação possua valor zero.
se [tex3]\Delta<0[/tex3] , a equação não possui raízes reais.

Logo, se queremos que a equação assuma apenas valores positivos, o delta deverá assumir um valor negativo.
Última edição: csmarcelo (Seg 02 Out, 2017 20:44). Total de 1 vez.



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Gabr7891b
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por Gabr7891b »

Como assim apenas uma equação?



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Gabr7891b
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por Gabr7891b »

É pq o deve ser a>0 ?
Última edição: Gabr7891b (Dom 09 Jun, 2019 09:59). Total de 1 vez.



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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

Gabr7891b escreveu:
Dom 09 Jun, 2019 09:56
Como assim apenas uma equação?
Não compreendi a pergunta.



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csmarcelo
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

Gabr7891b escreveu:
Dom 09 Jun, 2019 09:58
É pq o deve ser a>0 ?
Eu expliquei isso aqui.



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Gabr7891b
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por Gabr7891b »

Eu não entendi pq o "a" não pode ser menor que zero ( a<0)



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csmarcelo
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Re: (EPCAr) Função

Mensagem não lida por csmarcelo »

Gabr7891b escreveu:
Dom 09 Jun, 2019 10:39
Eu não entendi pq o "a" não pode ser menor que zero ( a<0)
O link não funcionou. :?
Sobre a condição (1)

Se [tex3]a>0[/tex3] equação determina uma parábola com concavidade para cima no plano cartesiano.
Se [tex3]a<0[/tex3] a equação determina uma parábola com concavidade para baixo no plano cartesiano.

Repare que, a partir dessa análise, apenas uma equação com o coeficiente permitirá que todos os valores que ela pode assumir sejam positivos. Invariavelmente, uma parábola com a concavidade para baixo ultrapassará o eixo das abcissas, o que se reflete em valores negativos para a equação correspondente.
Se [tex3]a<0[/tex3] , [tex3]px^{2}+px+1+\frac{3}{p}[/tex3] resultaria em números negativos em algum momento.




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