IME / ITA ⇒ (Simulado IME) Equações Tópico resolvido
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10:56
(Simulado IME) Equações
A soma de todos os números reais [tex3]x[/tex3]
a) [tex3]8.[/tex3]
b) [tex3]12.[/tex3]
c) [tex3]16.[/tex3]
d) [tex3]18.[/tex3]
e) [tex3]20.[/tex3]
que satisfazem a equação [tex3]8^{\sqrt{x+1}}+44(2^{\sqrt{x+1}})+64=19(4^{\sqrt{x+1}})[/tex3]
é:a) [tex3]8.[/tex3]
b) [tex3]12.[/tex3]
c) [tex3]16.[/tex3]
d) [tex3]18.[/tex3]
e) [tex3]20.[/tex3]
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Out 2017
01
11:33
Re: (Simulado IME) Equações
Chamando de [tex3]y[/tex3]
[tex3]8 ^{^\sqrt{x \ + \ 1}} \ + \ 44 \ . \ (2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (4^{^\sqrt{x \ + \ 1}})[/tex3]
[tex3]2^{(\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 3)} \ + \ 44 \ . \ (2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (2^{(^\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 2)})[/tex3]
[tex3]\cancelto{y^3}{2^{(\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 3)}} \ + \ 44 \ . \ (\cancelto{y}{2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (\cancelto{y^2}{2^{(^\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 2)}})[/tex3]
[tex3]y^3 \ + \ 44 \ . \ y \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ y^2[/tex3]
[tex3]y^3 \ - \ 19 \ . \ y^2 \ + \ 44 \ . \ y \ + \ 64 = \ 0[/tex3]
Pela técnica das somas dos coeficientes, vemos que, para zerar esse polinômio, podemos fazer :
[tex3](-1 \ - \ 19 \ - \ 44 \ + \ 64 \ = 0 )[/tex3]
Por isso, achamos o primeiro [tex3]y[/tex3] : [tex3]y \ = \ -1[/tex3]
[tex3]-1^3 \ - \ 19 \ . \ -1^2 \ + \ 44 \ . \ -1 \ + \ 64 = \ 0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Ok...
Temos mais duas raízes... usando Briot-Ruffini [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{-1} \ | 1 | \ |-19| \ |44| \ |64|[/tex3] (fica difícil desenvolver por aqui, então só vou colocar o resultado,,,)
[tex3]y^2 \ - \ 20 \ . \ y \ + \ 64 \ = \ 0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Resolvendo, achamos [tex3]y \ = 4, \ y \ = \ 16 [/tex3]
Agora, igualando :
[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ -1[/tex3] :
[tex3]-1 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Absurdo ! ([tex3]x \ \in \ \mathbb{R}[/tex3] ).
[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ 4[/tex3] :
[tex3]4 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]2^2 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \sqrt{x \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]4 \ = \ x \ + \ 1[/tex3]
[tex3]x \ = \ 3[/tex3]
[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ 16[/tex3] :
[tex3]16 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]2^4 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]4 \ = \ \sqrt{x \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]16 \ = \ x \ + \ 1[/tex3]
[tex3]x \ = \ 15[/tex3]
Logo, [tex3]15 \ + \ 3 \ = \ \boxed{\boxed{18}}[/tex3] (alternativa "d)").
o termo [tex3]2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]8 ^{^\sqrt{x \ + \ 1}} \ + \ 44 \ . \ (2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (4^{^\sqrt{x \ + \ 1}})[/tex3]
[tex3]2^{(\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 3)} \ + \ 44 \ . \ (2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (2^{(^\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 2)})[/tex3]
[tex3]\cancelto{y^3}{2^{(\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 3)}} \ + \ 44 \ . \ (\cancelto{y}{2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (\cancelto{y^2}{2^{(^\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 2)}})[/tex3]
[tex3]y^3 \ + \ 44 \ . \ y \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ y^2[/tex3]
[tex3]y^3 \ - \ 19 \ . \ y^2 \ + \ 44 \ . \ y \ + \ 64 = \ 0[/tex3]
Pela técnica das somas dos coeficientes, vemos que, para zerar esse polinômio, podemos fazer :
[tex3](-1 \ - \ 19 \ - \ 44 \ + \ 64 \ = 0 )[/tex3]
Por isso, achamos o primeiro [tex3]y[/tex3] : [tex3]y \ = \ -1[/tex3]
[tex3]-1^3 \ - \ 19 \ . \ -1^2 \ + \ 44 \ . \ -1 \ + \ 64 = \ 0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Ok...
Temos mais duas raízes... usando Briot-Ruffini [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{-1} \ | 1 | \ |-19| \ |44| \ |64|[/tex3] (fica difícil desenvolver por aqui, então só vou colocar o resultado,,,)
[tex3]y^2 \ - \ 20 \ . \ y \ + \ 64 \ = \ 0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Resolvendo, achamos [tex3]y \ = 4, \ y \ = \ 16 [/tex3]
Agora, igualando :
[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ -1[/tex3] :
[tex3]-1 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Absurdo ! ([tex3]x \ \in \ \mathbb{R}[/tex3] ).
[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ 4[/tex3] :
[tex3]4 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]2^2 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]2 \ = \ \sqrt{x \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]4 \ = \ x \ + \ 1[/tex3]
[tex3]x \ = \ 3[/tex3]
[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ 16[/tex3] :
[tex3]16 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]2^4 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]4 \ = \ \sqrt{x \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]16 \ = \ x \ + \ 1[/tex3]
[tex3]x \ = \ 15[/tex3]
Logo, [tex3]15 \ + \ 3 \ = \ \boxed{\boxed{18}}[/tex3] (alternativa "d)").
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
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01
11:34
Re: (Simulado IME) Equações
você tem o gabarito para confirmar?
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11:41
Re: (Simulado IME) Equações
Ok... vai prestar IME (aliás, nem sei quando são as provas, não vou prestar militares)
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01
11:57
Re: (Simulado IME) Equações
Ah que legal... tá no caminho certo ! eu vou de FUVEST, UNICAMP e UNESP mesmo...
para falar a verdade, eu passo sim no IME/ITA... se eu começar hoje a estudar fortemente para esses exames, daqui uns 120 anos eu tenho quase certeza de que passo na 4ª chamada kk (nem sei se tem 2ª chamada em diante, pra falar a vdd kk)
Bons estudos no CN e futuramente no IME !
para falar a verdade, eu passo sim no IME/ITA... se eu começar hoje a estudar fortemente para esses exames, daqui uns 120 anos eu tenho quase certeza de que passo na 4ª chamada kk (nem sei se tem 2ª chamada em diante, pra falar a vdd kk)
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