IME / ITA(Simulado IME) Equações Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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(Simulado IME) Equações

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

A soma de todos os números reais [tex3]x[/tex3] que satisfazem a equação [tex3]8^{\sqrt{x+1}}+44(2^{\sqrt{x+1}})+64=19(4^{\sqrt{x+1}})[/tex3] é:
a) [tex3]8.[/tex3]
b) [tex3]12.[/tex3]
c) [tex3]16.[/tex3]
d) [tex3]18.[/tex3]
e) [tex3]20.[/tex3]




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Re: (Simulado IME) Equações

Mensagem não lida por joaopcarv »

Chamando de [tex3]y[/tex3] o termo [tex3]2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]

[tex3]8 ^{^\sqrt{x \ + \ 1}} \ + \ 44 \ . \ (2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (4^{^\sqrt{x \ + \ 1}})[/tex3]

[tex3]2^{(\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 3)} \ + \ 44 \ . \ (2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (2^{(^\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 2)})[/tex3]

[tex3]\cancelto{y^3}{2^{(\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 3)}} \ + \ 44 \ . \ (\cancelto{y}{2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}}) \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ (\cancelto{y^2}{2^{(^\sqrt{x \ + \ 1} \ . \ 2)}})[/tex3]

[tex3]y^3 \ + \ 44 \ . \ y \ + \ 64 \ = \ 19 \ . \ y^2[/tex3]


[tex3]y^3 \ - \ 19 \ . \ y^2 \ + \ 44 \ . \ y \ + \ 64 = \ 0[/tex3]

Pela técnica das somas dos coeficientes, vemos que, para zerar esse polinômio, podemos fazer :

[tex3](-1 \ - \ 19 \ - \ 44 \ + \ 64 \ = 0 )[/tex3]

Por isso, achamos o primeiro [tex3]y[/tex3] : [tex3]y \ = \ -1[/tex3]

[tex3]-1^3 \ - \ 19 \ . \ -1^2 \ + \ 44 \ . \ -1 \ + \ 64 = \ 0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Ok...

Temos mais duas raízes... usando Briot-Ruffini [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{-1} \ | 1 | \ |-19| \ |44| \ |64|[/tex3] (fica difícil desenvolver por aqui, então só vou colocar o resultado,,,)

[tex3]y^2 \ - \ 20 \ . \ y \ + \ 64 \ = \ 0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Resolvendo, achamos [tex3]y \ = 4, \ y \ = \ 16 [/tex3]

Agora, igualando :

[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ -1[/tex3] :

[tex3]-1 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Absurdo ! ([tex3]x \ \in \ \mathbb{R}[/tex3] ).

[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ 4[/tex3] :

[tex3]4 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]

[tex3]2^2 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]

[tex3]2 \ = \ \sqrt{x \ + \ 1}[/tex3]

[tex3]4 \ = \ x \ + \ 1[/tex3]

[tex3]x \ = \ 3[/tex3]

[tex3]y \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] Para [tex3]y \ = \ 16[/tex3] :

[tex3]16 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]

[tex3]2^4 \ = \ 2^{^\sqrt{x \ + \ 1}}[/tex3]

[tex3]4 \ = \ \sqrt{x \ + \ 1}[/tex3]

[tex3]16 \ = \ x \ + \ 1[/tex3]

[tex3]x \ = \ 15[/tex3]

Logo, [tex3]15 \ + \ 3 \ = \ \boxed{\boxed{18}}[/tex3] (alternativa "d)").



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Re: (Simulado IME) Equações

Mensagem não lida por joaopcarv »

você tem o gabarito para confirmar?


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Re: (Simulado IME) Equações

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Infelizmente não tenho o gabarito desse simulado.



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Re: (Simulado IME) Equações

Mensagem não lida por joaopcarv »

GuiBernardo escreveu:
Dom 01 Out, 2017 11:40
Infelizmente não tenho o gabarito desse simulado.
Ok... vai prestar IME (aliás, nem sei quando são as provas, não vou prestar militares)


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Re: (Simulado IME) Equações

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Futuramente... Mas por enquanto tô focado no CN.



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Re: (Simulado IME) Equações

Mensagem não lida por joaopcarv »

Ah que legal... tá no caminho certo ! :D eu vou de FUVEST, UNICAMP e UNESP mesmo...

para falar a verdade, eu passo sim no IME/ITA... se eu começar hoje a estudar fortemente para esses exames, daqui uns 120 anos eu tenho quase certeza de que passo na 4ª chamada kk (nem sei se tem 2ª chamada em diante, pra falar a vdd kk)

Bons estudos no CN e futuramente no IME ! :D



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