IME / ITA ⇒ EPCAR - Análise combinatória Tópico resolvido

[HHHoppe]

Sejam os conjuntos disjuntos [tex3]A = \{\,a_1,\, a_2,\, a_3, \,a_4, \,a_5\,\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \{\,a_1,\, a_2,\, a_3, \,a_4, \,a_5\,\}[/tex3]

e [tex3]B = \{\,b_1,\, b_2,\, b_3, \,b_4, \,b_5\,\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B = \{\,b_1,\, b_2,\, b_3, \,b_4, \,b_5\,\}[/tex3]

. Pode-se formar [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

subconjuntos de [tex3]A \cup B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A \cup B[/tex3]

, com quatro elementos, nos quais não existam [tex3]a_i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_i[/tex3]

, [tex3]b_j[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b_j[/tex3]

com [tex3]i = j[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i = j[/tex3]

onde [tex3]1\leq i\leq 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\leq i\leq 5[/tex3]

e [tex3]1\leq j\leq 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1\leq j\leq 5[/tex3]

. Nessas condições, o valor de [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

é?

Resposta

---

R: 80.

[HHHoppe]

Já consegui resolver, deixo a resolução para quem tiver interesse:

Caso 1: 4 elementos de um só dos dois conjuntos:
C2,1 para escolher o conjunto.
C5,4 para escolher os termos
Portanto, 10 possibilidades.

Caso 2: 3 elementos de um dos conjuntos e um elemento de outro:
C2,1 para escolher o conjunto que fornecerá mais elementos.
C5,3 . C2,1 para escolher os elementos do primeiro e segundo conjunto. No segundo termo do produto há somente 2 opções, pois 3 já foram escolhidos no primeiro termo do produto, e não pode haver termos com índices iguais.
Portanto, 40 possibilidades.

Caso 3: 2 elementos de cada conjunto:
C5,2 . C3,2 para escolher os termos de cada conjunto. Novamente, as opções para o segundo termos do produto foram reduzidas, em via da impossibilidade de repetir índices.
Portanto, 30 possibilidades.

Logo, temos 10 + 40 + 30 = 80 = n.