IME / ITA(ITA - 2001) Trigonometria: Equação Trigonométrica Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Natan
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Jun 2008 26 20:46

(ITA - 2001) Trigonometria: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Natan »

Sendo [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que [tex3]\text{sen}^{2}2 \beta - 2 cos 2 \beta =0[/tex3] , então [tex3]\text{sen} \alpha[/tex3] é igual a:

a)[tex3]\frac{sqrt2}{2}[/tex3]
b)[tex3]\frac{\sqrt[4]{2}}{2}[/tex3]
c)[tex3]\frac{\sqrt[4]{8}}{2}[/tex3]
d)[tex3]\frac{\sqrt[4]{8}}{4}[/tex3]
e) [tex3]\text{zero}[/tex3]

Última edição: Natan (Qui 26 Jun, 2008 20:46). Total de 1 vez.



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triplebig
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Jun 2008 26 23:08

Re: (ITA - 2001) Trigonometria: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por triplebig »

Reescrevendo, e chamando [tex3]\cos2\beta\,=\,k[/tex3]:

[tex3]\hspace{50} \text{sen}^{2}2 \beta\, -\, 2 cos 2 \beta\, =\,0[/tex3]


[tex3]\hspace{50}1\,-\,k^2\,-\,2k\,=\,0[/tex3] [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]\left{ {k\,=\,-1\,+\,\sqrt{2}\,\\ \, \\ k\,=\,-1\,-\,\sqrt{2}\,\,\Rightarrow\,\,\text{menor do que -1}[/tex3]


[tex3]\hspace{50}2\cos^2\beta\,-\,1\,=\,-1\,+\,\sqrt{2}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\cos^2(90\,-\,\alpha)\,=\,\Large\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]


[tex3]\hspace{50}\text{sen}\alpha\,=\,\Large\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}\,=\,\Large\frac{\sqrt[4]{8}}{2}[/tex3]


Letra [tex3]\boxed{D{[/tex3]



Última edição: triplebig (Qui 26 Jun, 2008 23:08). Total de 1 vez.



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snooplammer
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Re: (ITA - 2001) Trigonometria: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por snooplammer »

Irei apresentar uma solução pois a que o colega triplebig apresentou está bugada

[tex3]\text{sen}^{2}2 \beta - 2 cos 2 \beta =0[/tex3]

[tex3]1-\cos^2 2\beta-2\cos 2\beta=0[/tex3]

[tex3]\cos 2\beta=\sqrt{2}-1[/tex3] é a única solução que serve

[tex3]\cos \beta=\sen \alpha[/tex3] pois os ângulos são complementares

[tex3]\cos 2\beta=2\cos^2\beta -1[/tex3]

[tex3]\sqrt{2}-1=2\cos^2\beta-1[/tex3]

[tex3]\cos \beta=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}=\sen \alpha[/tex3]




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