Por o baricentro "G" de um triângulo ABC, traça-se uma reta secante, cortando os lados AB e BC; Logo sobre a reta se considera um ponto E,calcular a área da região triangular EBG se as áreas das regiões triangulares ECG e AEG são 20 e 30 respectivamente.
a)25
b)50
c)10 [tex3]\sqrt{6}[/tex3]
d)20
e)30
IME / ITA ⇒ (Nivelamento -IME/ ITA)Geometria Plana
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Flavio2020
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jrneliodias
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Set 2017
17
13:55
Re: (Nivelamento -IME/ ITA)Geometria Plana
Olá, Flávio.
Observe a figura:
Para obtermos as áreas [tex3]AGE[/tex3] , [tex3]CEG[/tex3] e [tex3]BGE[/tex3] , pegamos como base o segmento [tex3]GE[/tex3] como base e as alturas [tex3]AF =
y[/tex3] , [tex3]CJ=x[/tex3] e [tex3]BH=z[/tex3]
Em seguida, observe que [tex3]G[/tex3] divide o segmento [tex3]AD[/tex3] em uma razão de [tex3]2:1[/tex3] e [tex3]\triangle AFG\sim \triangle GID[/tex3] , então [tex3]DI=y/2[/tex3]
Dessa forma, desenhamos o segmento [tex3]KJ[/tex3] de tal forma que [tex3]KJ//BC[/tex3] e sabemos que [tex3]CJ//DI//BH[/tex3] , assim [tex3]DIJC[/tex3] e [tex3]UIDB[/tex3] são paralelogramos, ou seja, [tex3]BD=KM[/tex3] , [tex3]CD=MJ[/tex3] e [tex3]JC=DM=KB[/tex3]
Com isso, temos [tex3]\triangle MIJ\sim \triangle JKH[/tex3] .
[tex3]\frac{KH}{KJ}=\frac{MI}{MJ}[/tex3]
Como [tex3]BD=CD \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,KM=MJ =t[/tex3] . Logo,
[tex3]\frac{z-x}{2t}=\frac{y/2-x}{t}[/tex3]
[tex3]z=y-x[/tex3]
Portanto,
[tex3][AGE]= \frac{GE\cdot y }{2}=30[/tex3]
[tex3][CGE]= \frac{GE\cdot x }{2}=20[/tex3]
Fazendo a diferença, temos
[tex3]10= \frac{GE\cdot (y-x) }{2}=\frac{GE\cdot z}{2}=[BGE][/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{[BGE]=10}[/tex3]
Creio que seja isso.
Espero ter ajudado. Abraço.
Observe a figura:
- Capturar.PNG (21.34 KiB) Exibido 1148 vezes
Para obtermos as áreas [tex3]AGE[/tex3] , [tex3]CEG[/tex3] e [tex3]BGE[/tex3] , pegamos como base o segmento [tex3]GE[/tex3] como base e as alturas [tex3]AF =
y[/tex3] , [tex3]CJ=x[/tex3] e [tex3]BH=z[/tex3]
Em seguida, observe que [tex3]G[/tex3] divide o segmento [tex3]AD[/tex3] em uma razão de [tex3]2:1[/tex3] e [tex3]\triangle AFG\sim \triangle GID[/tex3] , então [tex3]DI=y/2[/tex3]
Dessa forma, desenhamos o segmento [tex3]KJ[/tex3] de tal forma que [tex3]KJ//BC[/tex3] e sabemos que [tex3]CJ//DI//BH[/tex3] , assim [tex3]DIJC[/tex3] e [tex3]UIDB[/tex3] são paralelogramos, ou seja, [tex3]BD=KM[/tex3] , [tex3]CD=MJ[/tex3] e [tex3]JC=DM=KB[/tex3]
Com isso, temos [tex3]\triangle MIJ\sim \triangle JKH[/tex3] .
[tex3]\frac{KH}{KJ}=\frac{MI}{MJ}[/tex3]
Como [tex3]BD=CD \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,KM=MJ =t[/tex3] . Logo,
[tex3]\frac{z-x}{2t}=\frac{y/2-x}{t}[/tex3]
[tex3]z=y-x[/tex3]
Portanto,
[tex3][AGE]= \frac{GE\cdot y }{2}=30[/tex3]
[tex3][CGE]= \frac{GE\cdot x }{2}=20[/tex3]
Fazendo a diferença, temos
[tex3]10= \frac{GE\cdot (y-x) }{2}=\frac{GE\cdot z}{2}=[BGE][/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{[BGE]=10}[/tex3]
Creio que seja isso.
Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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ivanginato23
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Set 2017
17
15:12
Re: (Nivelamento -IME/ ITA)Geometria Plana
Estava tentando faze-lo, mas meu desenho não chegou nem perto do jrneliodias. Parabéns!!Quer nos ver vencer, o único que pode nos deter.
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