IME / ITA(Nivelamento -IME/ ITA) Geometria Plana

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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Set 2017 13 06:55

(Nivelamento -IME/ ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Tomando como centro o vértice [tex3]A[/tex3] de um quadrado [tex3]ABCD[/tex3] traça-se o quadrante [tex3]BAD[/tex3] , e logo traça-se uma tangente [tex3]RS[/tex3] em [tex3]T[/tex3] ao dito quadrante ([tex3]R[/tex3] e [tex3]S[/tex3] em [tex3]BC[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] respectivamente). Se [tex3]AR[/tex3] intercepta [tex3]BD[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] , [tex3]BQ=6\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]SD=2[/tex3] , calcular a área da região triangular AQS.

a) [tex3]50[/tex3]
b) [tex3]40[/tex3]
c) [tex3]40\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]32[/tex3]
e) [tex3]36[/tex3]
Resposta

r:a

Última edição: caju (Qua 13 Set, 2017 09:51). Total de 1 vez.
Razão: Colocar spoiler na resposta.



Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
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Set 2017 14 05:31

Re: (Nivelamento -IME/ ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Geogebra online4.png
Geogebra online4.png (52.35 KiB) Exibido 658 vezes
triângulo ATS é congruente ao triângulo ADS, pois ângulo ATS = ADS = 90. AT = AD por conta de T estar no quadrante e ambos tem hipotenusa AS.
Logo AS é bissetriz de AT e AD. E o quadrilátero ATDS é inscritível. Com AS diâmetro.
Analogamente AR é bissetriz de AT e AB.
Logo o ângulo QAS = 90/2 = 45
como QAS = QDS = 45 então o quadrilátero QSDA é inscritível, pois ambos os ângulos enxergam o segmento SQ
de onde o triângulo AQS é retângulo e isósceles AQ = QS, já que QSA = 45 e SQA = 90.
logo para descobrir a área, basta encontrar AQ.
seja L o lado do quadrado, fazendo pitágoras em ADS:
AS² = L^2 + 4 = 2AQ²
seja X o encontro da perpendicular a AB passando que Q e AB.
O pitágoras em AQX dá: AQ² = 36 + (L-6)²
substituindo na outra equação
L^2 + 4 = 72 + 2(L-6)²
0 = 68 + L² - 24L + 72
0 = (L-12)²-144+72+68
4 = (L-12)²
L - 12 = [tex3]\pm [/tex3] 2
L = 14 ou L = 10
a área de AQS é (L/2)² + 1 que vai dar ou 50 ou 26
a única alternativa é a A, válida pra L=14

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qui 14 Set, 2017 05:54). Total de 3 vezes.



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