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(Nivelamento -IME/ ITA)Geometria Plana
Enviado: Dom 10 Set, 2017 15:55
por Flavio2020
Em um triângulo [tex3]ABC[/tex3]
, traça-se a altura [tex3]AH[/tex3]
, e [tex3]HM[/tex3]
perpendicular [tex3]AB[/tex3]
e [tex3]HN[/tex3]
perpendicular [tex3]AC[/tex3]
, calcular [tex3]MN[/tex3]
, se o perímetro do triângulo pedal do triângulo [tex3]ABC[/tex3]
é [tex3]26[/tex3]
.
a) 10
b) 13
c) 14
d) 15
e) 6.5
Re: (Nivelamento -IME/ ITA)Geometria Plana
Enviado: Dom 10 Set, 2017 17:55
por Auto Excluído (ID:12031)
quadrilátero AMNH é inscritivel.
[tex3]AH[/tex3]
é diametro do círculo passando por AMNH.
Aplicando lei dos senos no triângulo AMN: [tex3]MN = AH \sen A[/tex3]
considerarei o triangulo pedal a partir do ortocentro P de ABC.
[tex3]26 = AP \sen A + BP \sen B + CP \sen C[/tex3]
como [tex3]AP =2R \cos A[/tex3]
e é análogo para os outros vértices:
[tex3]26 = R(\sen(2A) +\sen(2B) +\sen(2C))[/tex3]
[tex3]AH = c \sen B[/tex3]
[tex3]MN = c \sen A \sen B \frac{\sen C}{\sen C} = 2R \sen A \sen B \sen C[/tex3]
[tex3]MN = \frac{52 \sen A \sen B \sen C}{\sen (2A) + \sen (2B) + \sen(2C)}[/tex3]
fazendo a trigonometria, substituindo C por 180-(A+B)
você chega que essa expressão dos senos ai vale sempre [tex3]\frac14[/tex3]
logo
[tex3]MN = \frac{52}4=13[/tex3]
é essa relação trigonométrica aqui:
[tex3]tg(A) + tg(B) + tg(C) = tg(A)tg(B)tg(C)[/tex3]
que é meio que clássica para A,B,C ângulos em triângulos
multiplicando os dois lados por cos(A)cos(B)cos(C)
[tex3]sen(A)cos(B)cos(C) + sen(B)cos(A)cos(C) + sen(C)cos(A)cos(B) = sen(A)sen(B)sen(C)[/tex3]
basta trocar C por 180-(B+A) e ver que a expressão do lado esquerdo é um quarto de [tex3]\sen (2A) + \sen (2B) + \sen(2C)[/tex3]