IME / ITA ⇒ (IME) Lugar geométrico Tópico resolvido

[undefinied3]

Um ponto se move de modo que o quadrado de sua distância à base de um triângulo isósceles é igual ao produto de suas distâncias aos outros dois lados do triângulo. Determine a equação da trajetória deste ponto, identificando a curva descrita e respectivos parâmetros utilizados.

[Andre13000]

Idealizando um triângulo isósceles de base 2a, lado s e altura h, ao colocar-se este no centro do sistema cartesiano, com a base tangente ao eixo das abcissas, se tem que as retas que definem os lados da figura são da forma:

[tex3]\pm \frac{hx}{a}-y+h=0[/tex3]

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[tex3]\pm \frac{hx}{a}-y+h=0[/tex3]

Agora, seja o ponto de coordenadas [tex3](x_0,y_0)[/tex3]

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[tex3](x_0,y_0)[/tex3]

tal que satisfaça a condição imposta. Denotando a distância aos lados do triângulo por [tex3]d_1 [/tex3]

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[tex3]d_1 [/tex3]

e [tex3]d_2[/tex3]

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[tex3]d_2[/tex3]

, se tem que:

[tex3]y^2=d_1d_2[/tex3]

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[tex3]y^2=d_1d_2[/tex3]

Da geometria analítica, se tem que:

[tex3]d_1=\frac{\frac{hx_0}{a}-y_0+h}{\sqrt{\frac{h^2}{a^2}+1}}=\frac{hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_2=\frac{-hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_1d_2=\frac{(ay_0-ah)^2-h^2x_0^2}{a^2+h^2}=y_0^2\\
a^2y_0^2-2a^2y_0h+a^2h^2-h^2x_0^2=y_0^2a^2+y_0^2h^2\\
h^2x_0^2+y_0^2h^2+2a^2y_0h=a^2h^2\\
h^2x_0^2+(y_0h+a^2)^2=a^2h^2+a^4\\
x_0^2+(y_0+\frac{a^2}{h})^2=a^2+\frac{a^4}{h^2}[/tex3]

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[tex3]d_1=\frac{\frac{hx_0}{a}-y_0+h}{\sqrt{\frac{h^2}{a^2}+1}}=\frac{hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_2=\frac{-hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_1d_2=\frac{(ay_0-ah)^2-h^2x_0^2}{a^2+h^2}=y_0^2\\
a^2y_0^2-2a^2y_0h+a^2h^2-h^2x_0^2=y_0^2a^2+y_0^2h^2\\
h^2x_0^2+y_0^2h^2+2a^2y_0h=a^2h^2\\
h^2x_0^2+(y_0h+a^2)^2=a^2h^2+a^4\\
x_0^2+(y_0+\frac{a^2}{h})^2=a^2+\frac{a^4}{h^2}[/tex3]

Tem gabarito? acho que errei o sinal.

[undefinied3]

Pior que não tenho. Pelo o que eu vi parece estar certinho, vou aceitar a resolução porque se for um erro de sinal, isso nem importa muito.