IME / ITA(IME) Lugar geométrico Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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undefinied3
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Ago 2017 26 14:05

(IME) Lugar geométrico

Mensagem não lida por undefinied3 »

Um ponto se move de modo que o quadrado de sua distância à base de um triângulo isósceles é igual ao produto de suas distâncias aos outros dois lados do triângulo. Determine a equação da trajetória deste ponto, identificando a curva descrita e respectivos parâmetros utilizados.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Andre13000
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Re: (IME) Lugar geométrico

Mensagem não lida por Andre13000 »

Idealizando um triângulo isósceles de base 2a, lado s e altura h, ao colocar-se este no centro do sistema cartesiano, com a base tangente ao eixo das abcissas, se tem que as retas que definem os lados da figura são da forma:

[tex3]\pm \frac{hx}{a}-y+h=0[/tex3]

Agora, seja o ponto de coordenadas [tex3](x_0,y_0)[/tex3] tal que satisfaça a condição imposta. Denotando a distância aos lados do triângulo por [tex3]d_1 [/tex3] e [tex3]d_2[/tex3] , se tem que:

[tex3]y^2=d_1d_2[/tex3]

Da geometria analítica, se tem que:

[tex3]d_1=\frac{\frac{hx_0}{a}-y_0+h}{\sqrt{\frac{h^2}{a^2}+1}}=\frac{hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_2=\frac{-hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_1d_2=\frac{(ay_0-ah)^2-h^2x_0^2}{a^2+h^2}=y_0^2\\
a^2y_0^2-2a^2y_0h+a^2h^2-h^2x_0^2=y_0^2a^2+y_0^2h^2\\
h^2x_0^2+y_0^2h^2+2a^2y_0h=a^2h^2\\
h^2x_0^2+(y_0h+a^2)^2=a^2h^2+a^4\\
x_0^2+(y_0+\frac{a^2}{h})^2=a^2+\frac{a^4}{h^2}[/tex3]

Tem gabarito? acho que errei o sinal.



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undefinied3
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Re: (IME) Lugar geométrico

Mensagem não lida por undefinied3 »

Pior que não tenho. Pelo o que eu vi parece estar certinho, vou aceitar a resolução porque se for um erro de sinal, isso nem importa muito.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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