IME / ITA ⇒ (ITA) Polígono Regular Tópico resolvido

[muralha]

Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha que os vértices de (P) determinem 2n triângulos, cujos lados não são lados de (P). O valor de n é:

[fismatpina]

Basta fazer o número de triângulos possíveis e subtrair os que possuem lados comuns ao polígono:

Total de triângulos: [tex3]C_{n}^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{n}^{3}[/tex3]

(Para formar um triângulo, basta escolher 3 dos n vértices do polígono)

Triângulos com apenas um lado em comum com o polígono: n.(n - 4)

Veja como exemplo os casos em que n=5 e n=6. Ao escolher um dos n lados, temos exatamente (n - 4) vértices para formar triângulos que satisfazem a condição de possuir somente um lado em comum:

um lado apenas.png (13.52 KiB) Exibido 3723 vezes

Triângulos com dois lados em comum com o polígono: n

Veja como exemplos os casos em que n=4 e n=5. Ao formar um triângulo com dois lados em comum, podemos rotaciona-lo em torno dos polígono até retornar para a posição inicial:

quadrados.png (2.98 KiB) Exibido 3723 vezes

pentágonos.png (9.27 KiB) Exibido 3723 vezes

Finalmente, temos que:

[tex3]C_{n}^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{n}^{3}[/tex3]

- n.(n - 4) - n = 2n

Resolvendo a equação encontramos n=1 ou n=8. Logo a única solução possível é n=8