IME / ITA ⇒ (Farias Brito - prof MM) Pontos Notáveis Tópico resolvido

[Gu178]

Seja AM uma mediana do triângulo ABC e AX sua isagonal, que, nesse caso, é chamada simediana. Analogamente, definimos as simedianas BY e CZ. As simedianas são concorrentes no Ponto de Lemoine L. Analise as informações:

I. [tex3]\frac{BX}{XC}=(\frac{c}{b})^2[/tex3]

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[tex3]\frac{BX}{XC}=(\frac{c}{b})^2[/tex3]

II. As distâncias de L aos lados do triângulo são proporcionais aos lados;

III. Se T é a interseção da tangente a (ABC) por A com a reta BC, então T, B, X e C formam uma divisão harmônica;

IV. A bissetriz de BÂC também é bissetriz de XÂM.

Podemos afirmar que:

Resposta

---

Todas são verdadeiras

[undefinied3]

http://cyshine.webs.com/isogonais.pdf

Nesse link tem a demonstração de I e de II. No IV, creio que você quis dizer XAM? O ponto R não foi definido no enunciado. Para o III, eu vou ter que pensar um pouco. Agora to indo pra escola e só volto às 9h, então mais de noite eu tento. De qualquer forma, você sabe se esse "tangente a ABC por A", seria tangente ao circuncirculo de ABC por A? Porque não me parece fazer muito sentido algo tangenciar um vértice.

[Gu178]

Eu realmente não sei, a questão está desse jeito, não tem nenhuma observação nem nada do tipo. Em 4 é XÂM é mesmo, já corrigi.

[undefinied3]

Ok, é tangente ao circuncírculo mesmo, fiz no geogebra e bateu.

Da afirmação I, [tex3]\frac{XB}{XC}=(\frac{c}{b})^2 \rightarrow \frac{AB.AX.sen(y+2x)}{AC.AX.sen(y)}=(\frac{c}{b})^2 \rightarrow \frac{sen(2x+y)}{sen(y)}=\frac{c}{b}[/tex3]

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[tex3]\frac{XB}{XC}=(\frac{c}{b})^2 \rightarrow \frac{AB.AX.sen(y+2x)}{AC.AX.sen(y)}=(\frac{c}{b})^2 \rightarrow \frac{sen(2x+y)}{sen(y)}=\frac{c}{b}[/tex3]

Então temos que provar que [tex3]\frac{TB}{TC}=(\frac{c}{b})^2[/tex3]

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[tex3]\frac{TB}{TC}=(\frac{c}{b})^2[/tex3]

Não to conseguindo não :/

[Gu178]

Muito obrigado mesmo, já ajudou demais.

[Helloynne]

Olá GU178!

Talvez a notação não seja familiar para você, mas quando ele usa (ABC), significa dizer ''circunferência circunscrita ao triângulo ABC''.

Veja a figura que você entenderá o Item III.

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Pelo Item I:

[tex3](\frac{BX}{XC})=(\frac{c}{b})^2[/tex3]

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[tex3](\frac{BX}{XC})=(\frac{c}{b})^2[/tex3]

Pelo triângulo ABX:

[tex3]\gamma =180^o-(\beta +\alpha +2\theta )[/tex3]

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[tex3]\gamma =180^o-(\beta +\alpha +2\theta )[/tex3]

Lei dos Senos:

[tex3]\frac{c}{sen\beta }=\frac{b}{sen\gamma }\\\frac{sen\beta }{sen\gamma }=\frac{c}{b}~~(1)[/tex3]

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[tex3]\frac{c}{sen\beta }=\frac{b}{sen\gamma }\\\frac{sen\beta }{sen\gamma }=\frac{c}{b}~~(1)[/tex3]

[tex3]\frac{TB}{TC}=\frac{S_{\Delta TAB}}{S_{\Delta TAC}}=\frac{\frac{(y*c*sen\beta )}{2}}{\frac{(y*b*sen(\beta +2\theta +\alpha )}{2}}=\frac{c*sen\beta }{b*sen(\beta +2\theta +\alpha)}=\frac{c*sen\beta }{b*sen\gamma }~~(2)[/tex3]

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[tex3]\frac{TB}{TC}=\frac{S_{\Delta TAB}}{S_{\Delta TAC}}=\frac{\frac{(y*c*sen\beta )}{2}}{\frac{(y*b*sen(\beta +2\theta +\alpha )}{2}}=\frac{c*sen\beta }{b*sen(\beta +2\theta +\alpha)}=\frac{c*sen\beta }{b*sen\gamma }~~(2)[/tex3]

Substituindo 1 em 2:

[tex3]\frac{TB}{TC}=\left(\frac{c}{b}\right)^2[/tex3]

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[tex3]\frac{TB}{TC}=\left(\frac{c}{b}\right)^2[/tex3]

[tex3]\frac{TB}{TC}=\frac{XB}{XC}[/tex3]

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[tex3]\frac{TB}{TC}=\frac{XB}{XC}[/tex3]

T, B, X e C dividem BC harmonicamente.

Entendido?