Olá GU178!
Talvez a notação não seja familiar para você, mas quando ele usa (ABC), significa dizer ''circunferência circunscrita ao triângulo ABC''.
Veja a figura que você entenderá o Item III.
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Pelo Item I:
[tex3](\frac{BX}{XC})=(\frac{c}{b})^2[/tex3]
Pelo triângulo ABX:
[tex3]\gamma =180^o-(\beta +\alpha +2\theta )[/tex3]
Lei dos Senos:
[tex3]\frac{c}{sen\beta }=\frac{b}{sen\gamma }\\\frac{sen\beta }{sen\gamma }=\frac{c}{b}~~(1)[/tex3]
[tex3]\frac{TB}{TC}=\frac{S_{\Delta TAB}}{S_{\Delta TAC}}=\frac{\frac{(y*c*sen\beta )}{2}}{\frac{(y*b*sen(\beta +2\theta +\alpha )}{2}}=\frac{c*sen\beta }{b*sen(\beta +2\theta +\alpha)}=\frac{c*sen\beta }{b*sen\gamma }~~(2)[/tex3]
Substituindo 1 em 2:
[tex3]\frac{TB}{TC}=\left(\frac{c}{b}\right)^2[/tex3]
[tex3]\frac{TB}{TC}=\frac{XB}{XC}[/tex3]
T, B, X e C dividem BC harmonicamente.
Entendido?