IME / ITA ⇒ (CN) Equação do 2° Grau Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

As raízes da equação [tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3]

são iguais a m e n. Assinale a equação cujas raízes são [tex3]m^{3}[/tex3]

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[tex3]m^{3}[/tex3]

e [tex3]n^{3}[/tex3]

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[tex3]n^{3}[/tex3]

.
a) [tex3]a^{3}x^{2}-b(3ac+b^{2})x+c^{3}=0.[/tex3]

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[tex3]a^{3}x^{2}-b(3ac+b^{2})x+c^{3}=0.[/tex3]

b) [tex3]ax^{2}-b(3ac-b^{2})x+c=0.[/tex3]

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[tex3]ax^{2}-b(3ac-b^{2})x+c=0.[/tex3]

c) [tex3]a^{3}x^{2}+b(b^{2}-3ac)x+c=0.[/tex3]

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[tex3]a^{3}x^{2}+b(b^{2}-3ac)x+c=0.[/tex3]

d) [tex3]a^{3}x^{2}+b(b^{2}-3ac)x-c^{3}=0.[/tex3]

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[tex3]a^{3}x^{2}+b(b^{2}-3ac)x-c^{3}=0.[/tex3]

e) [tex3]a^{3}x^{2}+b(b^{2}-3ac)x+c^{3}=0.[/tex3]

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[tex3]a^{3}x^{2}+b(b^{2}-3ac)x+c^{3}=0.[/tex3]

Resposta

---

Letra e)

[LucasPinafi]

Temos [tex3]p(x)= k(x-m^3)(x-n^3) = a(x^2 -x (m^3+n^3) + (mn)^3) [/tex3]

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[tex3]p(x)= k(x-m^3)(x-n^3) = a(x^2 -x (m^3+n^3) + (mn)^3) [/tex3]

Veja, [tex3]m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 -mn+n^2) = (m+n)(m^2+n^2 -mn) = (m+n)((m+n)^2 - 3mn) = -\frac b a \left(\left(- \frac b a \right)^2 -3 \cdot \frac c a \right)[/tex3]

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[tex3]m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 -mn+n^2) = (m+n)(m^2+n^2 -mn) = (m+n)((m+n)^2 - 3mn) = -\frac b a \left(\left(- \frac b a \right)^2 -3 \cdot \frac c a \right)[/tex3]

[tex3]m^3 + n^3 = - \frac{b^3}{a^3} + 3 \frac{bc}{a^2 }[/tex3]

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[tex3]m^3 + n^3 = - \frac{b^3}{a^3} + 3 \frac{bc}{a^2 }[/tex3]

[tex3]p(x) = k \left[ x^2 - x \left(- \frac{b^3}{a^3} + 3 \frac{bc}{a^2} \right) +\left(\frac c a \right)^3 \right] \\ p(x) = \frac k {a^3} \left [a^3 x^2 -(3abc -b^3) x+ c^3 \right] [/tex3]

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[tex3]p(x) = k \left[ x^2 - x \left(- \frac{b^3}{a^3} + 3 \frac{bc}{a^2} \right) +\left(\frac c a \right)^3 \right] \\ p(x) = \frac k {a^3} \left [a^3 x^2 -(3abc -b^3) x+ c^3 \right] [/tex3]

[Marcos]

Olá GuiBernardo.Observe a solução:

[tex3]ax^{2}+bx+c=0\begin{cases}
x'=m \\
x''=n
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]ax^{2}+bx+c=0\begin{cases}
x'=m \\
x''=n
\end{cases}[/tex3]

[tex3]m+n=\frac{-b}{a}[/tex3]

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[tex3]m+n=\frac{-b}{a}[/tex3]

e [tex3]mn=\frac{c}{a}[/tex3]

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[tex3]mn=\frac{c}{a}[/tex3]

[tex3]m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)=\left(-\frac{b}{a}\right)^3-3.\frac{c}{a}.\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}=\frac{-b^3+3abc}{a^3}[/tex3]

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[tex3]m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)=\left(-\frac{b}{a}\right)^3-3.\frac{c}{a}.\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}=\frac{-b^3+3abc}{a^3}[/tex3]

[tex3]m^3.n^3=(m.n)^3=\left(\frac{c}{a}\right)^3=\frac{c^3}{a^3}[/tex3]

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[tex3]m^3.n^3=(m.n)^3=\left(\frac{c}{a}\right)^3=\frac{c^3}{a^3}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3]

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[tex3]\blacktriangleright[/tex3]

A equação cujas raízes são [tex3]m^{3}[/tex3]

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[tex3]m^{3}[/tex3]

e [tex3]n^{3}[/tex3]

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[tex3]n^{3}[/tex3]

é
[tex3]x^{2}-\left(\frac{-b^3+3abc}{a^3}\right)x+\left(\frac{c}{a}\right)^3=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}-\left(\frac{-b^3+3abc}{a^3}\right)x+\left(\frac{c}{a}\right)^3=0[/tex3]

[tex3]x^{2}-\left(\frac{-b^3+3abc}{a^3}\right)x+ \frac{c^3}{a^3}=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}-\left(\frac{-b^3+3abc}{a^3}\right)x+ \frac{c^3}{a^3}=0[/tex3]

[tex3]\left(\frac{a^3}{a^3}\right)x^{2}-\left(\frac{-b^3+3abc}{a^3}\right)x+ \frac{c^3}{a^3}=0[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{a^3}{a^3}\right)x^{2}-\left(\frac{-b^3+3abc}{a^3}\right)x+ \frac{c^3}{a^3}=0[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{a^3.x^2+b(b^2-3ac)x+c^3=0}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{a^3.x^2+b(b^2-3ac)x+c^3=0}}[/tex3]

(Sem opção como resposta)

Obs.: Reveja o enunciado original da questão supracitada, pois não há opção como resposta.

Resposta: [tex3]a^3.x^2+b(b^2-3ac)x+c^3=0[/tex3]

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[tex3]a^3.x^2+b(b^2-3ac)x+c^3=0[/tex3]

.

[Auto Excluído (ID:17906)]

Obrigado Pinafi e Marcos. Corrigi o enunciado Marcos, eu havia digitado errado as opções.