IME / ITA(Nivelamento IME ITA) Geometria Plana

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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(Nivelamento IME ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Calcular a área da região sombreda; Se: M e N são pontos de tangencia.
20170728_161128.jpg
Resposta

Resposta: [tex3]\frac{R^{2}\sqrt{2}}{9}[/tex3]

Última edição: caju (Qui 02 Nov, 2017 10:30). Total de 1 vez.
Razão: Colocar spoiler na resposta.



Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
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Nov 2017 02 05:58

Re: (Nivelamento IME ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

seja P o encontro de AO com a circunferência C de centro D e raio r que passa por M e por N.

A reta PN é perpendicular à ON e portanto também passa por B.

prova: seja K o ponto médio de OB, "s" uma perpendicular à OB por K e L o encontro de "s" e a circunferência maior [tex3]\alpha = \angle NKL [/tex3]

como KNB é isósceles [tex3]\angle KNB = 45 - \frac {\alpha}2[/tex3] sendo P' o encontro de NB com o círculo C

teremos que o triângulo P'DN é isósceles e portanto [tex3]\angle NP'D = 45 - \frac{\alpha}{2}[/tex3] de onde P'D é paralela a OB

portanto P' é P.


[tex3]PO = 2\sqrt{\frac R2 r}[/tex3]
fazendo pitágoras em OPD
[tex3]2Rr + r^2 = (R-r)^2[/tex3]
[tex3]2Rr + r^2 = (R^2-2Rr + r^2)[/tex3]
[tex3]4Rr = R^2[/tex3]
[tex3]R = 4r[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 03 Nov, 2017 02:29). Total de 1 vez.



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