IME / ITA ⇒ (Nivelamento IME ITA) Geometria Plana

[Flavio2020]

Calcular a área da região sombreda; Se: M e N são pontos de tangencia.

Resposta

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Resposta: [tex3]\frac{R^{2}\sqrt{2}}{9}[/tex3]

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[tex3]\frac{R^{2}\sqrt{2}}{9}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

seja P o encontro de AO com a circunferência C de centro D e raio r que passa por M e por N.

A reta PN é perpendicular à ON e portanto também passa por B.

prova: seja K o ponto médio de OB, "s" uma perpendicular à OB por K e L o encontro de "s" e a circunferência maior [tex3]\alpha = \angle NKL [/tex3]

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[tex3]\alpha = \angle NKL [/tex3]

como KNB é isósceles [tex3]\angle KNB = 45 - \frac {\alpha}2[/tex3]

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[tex3]\angle KNB = 45 - \frac {\alpha}2[/tex3]

sendo P' o encontro de NB com o círculo C

teremos que o triângulo P'DN é isósceles e portanto [tex3]\angle NP'D = 45 - \frac{\alpha}{2}[/tex3]

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[tex3]\angle NP'D = 45 - \frac{\alpha}{2}[/tex3]

de onde P'D é paralela a OB

portanto P' é P.


[tex3]PO = 2\sqrt{\frac R2 r}[/tex3]

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[tex3]PO = 2\sqrt{\frac R2 r}[/tex3]

fazendo pitágoras em OPD
[tex3]2Rr + r^2 = (R-r)^2[/tex3]

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[tex3]2Rr + r^2 = (R-r)^2[/tex3]

[tex3]2Rr + r^2 = (R^2-2Rr + r^2)[/tex3]

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[tex3]2Rr + r^2 = (R^2-2Rr + r^2)[/tex3]

[tex3]4Rr = R^2[/tex3]

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[tex3]4Rr = R^2[/tex3]

[tex3]R = 4r[/tex3]

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[tex3]R = 4r[/tex3]