IME / ITA ⇒ (Farias Brito) Circunferência Tópico resolvido

[Gu178]

Duas circunferências de raios r e R (r<R) são tangentes internamente. Ache o raio da circunferência que é tangente a essas duas circunferências e à reta que passa pelos seus centros.

Resposta

---

[tex3]\frac{4rR(R-r)}{(R+r)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4rR(R-r)}{(R+r)^2}[/tex3]

[undefinied3]

Agora é aplicar uns pitágoras e ter fé nas contas.
[tex3]y^2+x^2=R^2-2Rx+x^2 \rightarrow y=\sqrt{R^2-2Rx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2+x^2=R^2-2Rx+x^2 \rightarrow y=\sqrt{R^2-2Rx}[/tex3]

[tex3]x^2+(R-r+y)^2=(r+x)^2 \rightarrow x^2+R^2-2Rr+r^2+2y(R-r)+y^2=r^2+2rx+x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+(R-r+y)^2=(r+x)^2 \rightarrow x^2+R^2-2Rr+r^2+2y(R-r)+y^2=r^2+2rx+x^2[/tex3]

[tex3]R^2-2Rr+2\sqrt{R^2-2Rx}(R-r)+R^2-2Rx=2rx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^2-2Rr+2\sqrt{R^2-2Rx}(R-r)+R^2-2Rx=2rx[/tex3]

[tex3]R^2-Rx-rx-Rr=-\sqrt{R^2-2Rx}(R-r) \rightarrow R(R-r)-x(R+r)=-\sqrt{R^2-2Rx}(R-r)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^2-Rx-rx-Rr=-\sqrt{R^2-2Rx}(R-r) \rightarrow R(R-r)-x(R+r)=-\sqrt{R^2-2Rx}(R-r)[/tex3]

[tex3]R-x.\frac{R+r}{R-r}=-\sqrt{R^2-2Rx} \rightarrow R^2-\frac{2R(R+r)}{R-r}x+\frac{(R+r)^2}{(R-r)^2}x^2=R^2-2Rx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R-x.\frac{R+r}{R-r}=-\sqrt{R^2-2Rx} \rightarrow R^2-\frac{2R(R+r)}{R-r}x+\frac{(R+r)^2}{(R-r)^2}x^2=R^2-2Rx[/tex3]

[tex3]\frac{(R+r)^2}{(R-r)^2}x^2+2R(1-\frac{R+r}{R-r})x=0 \rightarrow \frac{(R+r)^2}{(R-r)^2}x=2R.\frac{2r}{R-r}=\frac{4Rr}{R-r}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(R+r)^2}{(R-r)^2}x^2+2R(1-\frac{R+r}{R-r})x=0 \rightarrow \frac{(R+r)^2}{(R-r)^2}x=2R.\frac{2r}{R-r}=\frac{4Rr}{R-r}[/tex3]

[tex3]\therefore x=\frac{4Rr(R-r)}{(R+r)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore x=\frac{4Rr(R-r)}{(R+r)^2}[/tex3]

[Gu178]

Muito obrigado mesmo amigo, está me ajudando muito!