IME / ITA ⇒ (Farias Brito) Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[Gu178]

Duas circunferências de raio R e r cortam-se ortogonalmente. Traça-se a tangente comum externa BC (B e C pontos de contato). Calcule o raio da circunferência que é tangente externamente às duas primeiras e tangente à reta BC.

Resposta

---

[tex3]\frac{Rr}{2(R+r+2\sqrt{Rr})}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{Rr}{2(R+r+2\sqrt{Rr})}[/tex3]

[alevini98]

Demorei um pouco pra perceber a colocação das figuras. Mas consegui dessa forma:

_20170725_110228.JPG (37.36 KiB) Exibido 1725 vezes

Mas não faço ideia de como calcular o raio da circunferência menor.

Sugestões?

[undefinied3]

Isso é uma adaptação de um teorema Japones, acho que se chama Sangaku, algo assim. A relação original é [tex3]\frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}[/tex3]

, mas isso é quando as três circunferências são tangentes. Pra chegar no resultado, fique traçando várias paralelas à reta BC passando por cada centro da circunferência e aplicando pitágoras várias vezes com os triângulos que vão formando. Você vai cair num sistema mais ou menos assim:
[tex3]\begin{cases}
(R_1-r)^2+a^2=(R_1+r)^2 \\
(R_2-r)^2+b^2=(R_2+r)^2 \\
R_1^2+R_2^2=(a+b)^2+(R_2-R_1)^2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
(R_1-r)^2+a^2=(R_1+r)^2 \\
(R_2-r)^2+b^2=(R_2+r)^2 \\
R_1^2+R_2^2=(a+b)^2+(R_2-R_1)^2
\end{cases}[/tex3]

A última equação vem da ortogonalidade das circunferências (se ligarmos os raios aos pontos que elas se tocam, formamos um ângulo de 90 graus). Acho que essas três equações são suficientes para determinar r. No caso, chamei de R1 a circunferência da esquerda e de R2 a da direita e r a circunferência pequena. a e b são os dois pedaços em que é dividido o segmento BC pela circunferência menor

EDIT: Eh, vou resolver o sistema:

[tex3]a^2=4R_1r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=4R_1r[/tex3]

[tex3]b^2=4R_2r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^2=4R_2r[/tex3]

[tex3]R_1^2+R_2^2=a^2+2ab+b^2+R_2^2-2R_1R_2+R_1^2 \rightarrow a^2+2ab+b^2=2R_1R_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R_1^2+R_2^2=a^2+2ab+b^2+R_2^2-2R_1R_2+R_1^2 \rightarrow a^2+2ab+b^2=2R_1R_2[/tex3]

[tex3]4R_1r+8\sqrt{R_1R_2}r+4R_2r=2R_1R_2 \rightarrow r=\frac{R_1R_2}{2(R_1+2\sqrt{R_1R_2}+R_2)}=\frac{R_1R_2}{2(\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4R_1r+8\sqrt{R_1R_2}r+4R_2r=2R_1R_2 \rightarrow r=\frac{R_1R_2}{2(R_1+2\sqrt{R_1R_2}+R_2)}=\frac{R_1R_2}{2(\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2})^2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\sqrt{2r}}=\frac{\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2}}{\sqrt{R_1R_2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt{2r}}=\frac{\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2}}{\sqrt{R_1R_2}}[/tex3]

[tex3]\therefore \frac{1}{\sqrt{2r}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore \frac{1}{\sqrt{2r}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}[/tex3]

O resultado ficou bem parecido com o da versão das circunferências tangentes, como de certa forma já esperado.

[alevini98]

O resultado ficou bem parecido com o da versão das circunferências tangentes, como de certa forma já esperado.

Só completando:

[tex3]\frac{1
}{\sqrt{2r}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1
}{\sqrt{2r}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{r\to r'}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{r\to r'}[/tex3]

[tex3]\boxed{R_1\to R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{R_1\to R}[/tex3]

[tex3]\boxed{R_2\to r}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{R_2\to r}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\sqrt{2r'}}=\frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{1}{\sqrt{r}}\\\\\sqrt{2r'}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{1}{\sqrt{r}}}\\\\\sqrt{2r'}=\frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R}+\sqrt{r}}\\\\\boxed{r'=\frac{Rr}{2(R+2\sqrt{Rr}+r)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt{2r'}}=\frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{1}{\sqrt{r}}\\\\\sqrt{2r'}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{1}{\sqrt{r}}}\\\\\sqrt{2r'}=\frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R}+\sqrt{r}}\\\\\boxed{r'=\frac{Rr}{2(R+2\sqrt{Rr}+r)}}[/tex3]

[Gu178]

Muito obrigado pela ajuda pessoal!