IME / ITA ⇒ (Farias Brito) Transformação Trigonométrica Tópico resolvido

[Gu178]

Sabendo que [tex3]tg(\frac{\pi }{9})+4*sen(\frac{\pi }{9})=S[/tex3]

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[tex3]tg(\frac{\pi }{9})+4*sen(\frac{\pi }{9})=S[/tex3]

. Então, o valor da expressão [tex3]log_{9}^s[/tex3]

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[tex3]log_{9}^s[/tex3]

é igual a:

Resposta

---

1/4

[Andre13000]

Esse tipo de questão é meio difícil de resolver e bem roubada. Essas identidades não são nada intuitivas e são difíceis de provar. Eu até tentei tomar [tex3]x=e^{\frac{\pi i}{9}}[/tex3]

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[tex3]x=e^{\frac{\pi i}{9}}[/tex3]

e trabalhar para ver se dava algo mas nada. Se a questão não for discursiva você pode tentar fazer pela aproximação linear do seno e tangente. Se eu conseguir achar as aproximações de maior ordem eu posto

[tex3]\log_{9}(4\sen x+\tg x)\approx \log_9 5x[/tex3]

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[tex3]\log_{9}(4\sen x+\tg x)\approx \log_9 5x[/tex3]

Daí você tira que [tex3]S\approx \frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]S\approx \frac{1}{4}[/tex3]

Se quiser saber mais de uma olhada aqui: https://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/07 ... 3755v1.pdf

[undefinied3]

Essa é um pouco mais fazível que as outras que dão aquelas raízes bizarras:
Fazendo [tex3]x=\frac{\pi}{9}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{\pi}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{sen(x)}{cos(x)}+4sen(x)=\frac{sen(x)+2sen(2x)}{cos(x)}=\frac{2sen(\frac{3x}{2})cos(\frac{x}{2})+sen(2x)}{cos(x)}[/tex3]

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[tex3]\frac{sen(x)}{cos(x)}+4sen(x)=\frac{sen(x)+2sen(2x)}{cos(x)}=\frac{2sen(\frac{3x}{2})cos(\frac{x}{2})+sen(2x)}{cos(x)}[/tex3]

Mas [tex3]\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{6}[/tex3]

, então:
[tex3]S=\frac{cos(\frac{x}{2})+sen(2x)}{cos(x)}=\frac{sen(2x)+sen(90-\frac{x}{2})}{cos(x)}=\frac{2sen(45+\frac{3x}{4})cos(\frac{5x}{4}-45)}{cos(x)}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{cos(\frac{x}{2})+sen(2x)}{cos(x)}=\frac{sen(2x)+sen(90-\frac{x}{2})}{cos(x)}=\frac{2sen(45+\frac{3x}{4})cos(\frac{5x}{4}-45)}{cos(x)}[/tex3]

Mas [tex3]45+\frac{3x}{4}=45+15=60[/tex3]

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[tex3]45+\frac{3x}{4}=45+15=60[/tex3]

, e [tex3]\frac{5x}{4}-45=25-45=-20[/tex3]

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[tex3]\frac{5x}{4}-45=25-45=-20[/tex3]

, que é justamente [tex3]x=\frac{180}{9}=20[/tex3]

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[tex3]x=\frac{180}{9}=20[/tex3]

.

[tex3]S=\frac{\sqrt{3}cos(-20)}{cos(20)}=\sqrt{3}=9^{\frac{1}{4}}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{\sqrt{3}cos(-20)}{cos(20)}=\sqrt{3}=9^{\frac{1}{4}}[/tex3]

Segue que [tex3]log_9(S)=\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]log_9(S)=\frac{1}{4}[/tex3]