A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) [tex3]1+ \sqrt{5}[/tex3]
b)[tex3]-1+ \sqrt{5}[/tex3]
c) [tex3]2+ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
d)[tex3]2\sqrt{5}-1[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ (AFA) Geometria Plana Tópico resolvido
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paulojorge
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Jun 2017
25
22:07
(AFA) Geometria Plana
A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.
A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) [tex3]1+ \sqrt{5}[/tex3]
b)[tex3]-1+ \sqrt{5}[/tex3]
c) [tex3]2+ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
d)[tex3]2\sqrt{5}-1[/tex3]
A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) [tex3]1+ \sqrt{5}[/tex3]
b)[tex3]-1+ \sqrt{5}[/tex3]
c) [tex3]2+ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
d)[tex3]2\sqrt{5}-1[/tex3]
Editado pela última vez por paulojorge em 25 Jun 2017, 22:07, em um total de 1 vez.
Entenda o momento presente e não perca a oportunidade de mudar a sua realidade, o tempo não para, o tempo voa meu irmão!
"O caminho pode ser longo, mas sempre terá um fim!"
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Jun 2017
26
00:05
Re: (AFA) Geometria Plana
[tex3]\triangle ABC[/tex3]
e [tex3]\triangle BCD[/tex3]
são isósceles, e como seus lados medem o mesmo, são tambem triângulos congruentes. Assim, [tex3]\angle BAP=\angle PCB=\angle CBP=\angle PDC=\alpha[/tex3]
. Note que se decidimos traçar [tex3]\overline{BE}[/tex3]
, o [tex3]\triangle AEB\equiv\triangle BCD\equiv\triangle ABC[/tex3]
, assim [tex3]\angle EBA=\alpha[/tex3]
. Como o trapézio regular é circunscritível, [tex3]\angle EBA[/tex3]
enxerga uma corda de mesmo comprimento que [tex3]\angle DBE[/tex3]
, então [tex3]\angle EBA=\angle DBE=\alpha[/tex3]
. Assim [tex3]\angle PBA=2\alpha[/tex3]
. Analisando o [tex3]\triangle BPC[/tex3]
, temos que [tex3]\angle BPC = 180°-2\alpha[/tex3]
, e como [tex3]\angle BPC + \angle APB=180°\Rightarrow\angle APB = 2\alpha[/tex3]
. Temos então que o [tex3]\triangle APB\equiv\triangle DPC[/tex3]
por simetria, e que eles são isósceles. Vou agora dar upload na figura para ajudar na compreensão:
Assim temos que [tex3]\overline{AP}=\overline{AB}=2[/tex3]
e [tex3]\overline{BP}=\overline{CP}=x[/tex3]
Usando o teorema de Stewart no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que:
[tex3]4x+8=(x+2)(x^2+2x)[/tex3]
[tex3]4(x+2)=(x+2)x(x+2)[/tex3]
Dividindo toda a equação por [tex3]x+2[/tex3] :
[tex3]4=x(x+2)\Rightarrow x^2+2x-4=0[/tex3]
Resolvendo a equação, encontraremos como solução positiva [tex3]-1+\sqrt{5}[/tex3] . Como [tex3]\overline{AC}=\overline{AP}+\overline{CP}[/tex3] , logo temos que:
[tex3]\overline{AC}=2+\sqrt{5}-1\Rightarrow\overline{AC}=1+\sqrt{5}[/tex3]
Assim a alternativa correta é a a)
Usando o teorema de Stewart no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que:
[tex3]4x+8=(x+2)(x^2+2x)[/tex3]
[tex3]4(x+2)=(x+2)x(x+2)[/tex3]
Dividindo toda a equação por [tex3]x+2[/tex3] :
[tex3]4=x(x+2)\Rightarrow x^2+2x-4=0[/tex3]
Resolvendo a equação, encontraremos como solução positiva [tex3]-1+\sqrt{5}[/tex3] . Como [tex3]\overline{AC}=\overline{AP}+\overline{CP}[/tex3] , logo temos que:
[tex3]\overline{AC}=2+\sqrt{5}-1\Rightarrow\overline{AC}=1+\sqrt{5}[/tex3]
Assim a alternativa correta é a a)
Editado pela última vez por Lonel em 26 Jun 2017, 00:05, em um total de 2 vezes.
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