A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) [tex3]1+ \sqrt{5}[/tex3]
b)[tex3]-1+ \sqrt{5}[/tex3]
c) [tex3]2+ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
d)[tex3]2\sqrt{5}-1[/tex3]
IME / ITA ⇒ (AFA) Geometria Plana Tópico resolvido
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paulojorge 
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Jun 2017
25
22:07
(AFA) Geometria Plana
A figura a seguir é um pentágono regular de lado 2 cm.
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes.
A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) [tex3]1+ \sqrt{5}[/tex3]
b)[tex3]-1+ \sqrt{5}[/tex3]
c) [tex3]2+ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
d)[tex3]2\sqrt{5}-1[/tex3]
A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) [tex3]1+ \sqrt{5}[/tex3]
b)[tex3]-1+ \sqrt{5}[/tex3]
c) [tex3]2+ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
d)[tex3]2\sqrt{5}-1[/tex3]
Última edição: paulojorge (Dom 25 Jun, 2017 22:07). Total de 1 vez.
Entenda o momento presente e não perca a oportunidade de mudar a sua realidade, o tempo não para, o tempo voa meu irmão!
"O caminho pode ser longo, mas sempre terá um fim!"
"O caminho pode ser longo, mas sempre terá um fim!"
Jun 2017
26
00:05
Re: (AFA) Geometria Plana
[tex3]\triangle ABC[/tex3]
e [tex3]\triangle BCD[/tex3]
são isósceles, e como seus lados medem o mesmo, são tambem triângulos congruentes. Assim, [tex3]\angle BAP=\angle PCB=\angle CBP=\angle PDC=\alpha[/tex3]
. Note que se decidimos traçar [tex3]\overline{BE}[/tex3]
, o [tex3]\triangle AEB\equiv\triangle BCD\equiv\triangle ABC[/tex3]
, assim [tex3]\angle EBA=\alpha[/tex3]
. Como o trapézio regular é circunscritível, [tex3]\angle EBA[/tex3]
enxerga uma corda de mesmo comprimento que [tex3]\angle DBE[/tex3]
, então [tex3]\angle EBA=\angle DBE=\alpha[/tex3]
. Assim [tex3]\angle PBA=2\alpha[/tex3]
. Analisando o [tex3]\triangle BPC[/tex3]
, temos que [tex3]\angle BPC = 180°-2\alpha[/tex3]
, e como [tex3]\angle BPC + \angle APB=180°\Rightarrow\angle APB = 2\alpha[/tex3]
. Temos então que o [tex3]\triangle APB\equiv\triangle DPC[/tex3]
por simetria, e que eles são isósceles. Vou agora dar upload na figura para ajudar na compreensão:
Assim temos que [tex3]\overline{AP}=\overline{AB}=2[/tex3]
e [tex3]\overline{BP}=\overline{CP}=x[/tex3]
Usando o teorema de Stewart no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que:
[tex3]4x+8=(x+2)(x^2+2x)[/tex3]
[tex3]4(x+2)=(x+2)x(x+2)[/tex3]
Dividindo toda a equação por [tex3]x+2[/tex3] :
[tex3]4=x(x+2)\Rightarrow x^2+2x-4=0[/tex3]
Resolvendo a equação, encontraremos como solução positiva [tex3]-1+\sqrt{5}[/tex3] . Como [tex3]\overline{AC}=\overline{AP}+\overline{CP}[/tex3] , logo temos que:
[tex3]\overline{AC}=2+\sqrt{5}-1\Rightarrow\overline{AC}=1+\sqrt{5}[/tex3]
Assim a alternativa correta é a a)
Usando o teorema de Stewart no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que:
[tex3]4x+8=(x+2)(x^2+2x)[/tex3]
[tex3]4(x+2)=(x+2)x(x+2)[/tex3]
Dividindo toda a equação por [tex3]x+2[/tex3] :
[tex3]4=x(x+2)\Rightarrow x^2+2x-4=0[/tex3]
Resolvendo a equação, encontraremos como solução positiva [tex3]-1+\sqrt{5}[/tex3] . Como [tex3]\overline{AC}=\overline{AP}+\overline{CP}[/tex3] , logo temos que:
[tex3]\overline{AC}=2+\sqrt{5}-1\Rightarrow\overline{AC}=1+\sqrt{5}[/tex3]
Assim a alternativa correta é a a)
Última edição: Lonel (Seg 26 Jun, 2017 00:05). Total de 2 vezes.
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