IME / ITA ⇒ (IME) Equação trigonométrica Tópico resolvido

[undefinied3]

Dada a equação [tex3]\cos\(2x+\frac{\pi}{6}\)-m\cdot\sen^2(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\(2x+\frac{\pi}{6}\)-m\cdot\sen^2(x)=0[/tex3]

, determine a condição a que deve satisfazer m para que ela tenha pelo menos uma solução [tex3]x_0[/tex3]

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[tex3]x_0[/tex3]

tal que [tex3]0<x_0<2\pi[/tex3]

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[tex3]0<x_0<2\pi[/tex3]

Resposta

---

[tex3]m\geq -\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]m\geq -\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\sen^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2[/tex3]

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[tex3]\sen^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2[/tex3]

[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})-m +m\cos(2x)=0[/tex3]

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[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})-m +m\cos(2x)=0[/tex3]

[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})+m\cos(2x)=m[/tex3]

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[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})+m\cos(2x)=m[/tex3]

[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})+m\cos(2x+30^\circ-30^\circ)=m[/tex3]

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[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})+m\cos(2x+30^\circ-30^\circ)=m[/tex3]

[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})+m\cos(2x+30^\circ)\frac {\sqrt{3}}2+\frac m2\sen(2x+30^\circ)=m[/tex3]

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[tex3]2\cos(2x+30^{\circ})+m\cos(2x+30^\circ)\frac {\sqrt{3}}2+\frac m2\sen(2x+30^\circ)=m[/tex3]

[tex3]\cos(2x+30^{\circ})\(2+m\frac{\sqrt3}2\)+\frac m2\sen(2x+30^\circ)=m[/tex3]

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[tex3]\cos(2x+30^{\circ})\(2+m\frac{\sqrt3}2\)+\frac m2\sen(2x+30^\circ)=m[/tex3]

[tex3]\sen(2x+30^{\circ} +\phi)=\frac{m}{\sqrt{4+2m\sqrt3+m^2}}[/tex3]

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[tex3]\sen(2x+30^{\circ} +\phi)=\frac{m}{\sqrt{4+2m\sqrt3+m^2}}[/tex3]

logo, basta ter [tex3]-1 \leq \frac{m}{\sqrt{4+2m\sqrt3+m^2}} \leq 1[/tex3]

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[tex3]-1 \leq \frac{m}{\sqrt{4+2m\sqrt3+m^2}} \leq 1[/tex3]