IME / ITA(Farias Brito - prof MM) Equação Exponencial Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Gu178
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(Farias Brito - prof MM) Equação Exponencial

Mensagem não lida por Gu178 »

Para quantos números reais x temos [tex3]2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1[/tex3]
Resposta

1

Última edição: Gu178 (Qui 15 Jun, 2017 15:47). Total de 2 vezes.



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undefinied3
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Re: (Farias Brito - prof MM) Equação Exponencial

Mensagem não lida por undefinied3 »

Podemos reescrever como
[tex3]a+b-a^2+ab-b^2=1 \rightarrow a^2-(b+1)a+b^2-b+1=0[/tex3]
Resolvendo a quadrática em a:
[tex3]\Delta=b^2+2b+1-4b^2+4b-4=-3b^2+6b-3=-3(b-1)^2[/tex3]
[tex3]a=\frac{b+1 \pm \sqrt{-3(b-1)^2}}{2}[/tex3]
Como estamos nos reais, aquele delta deve ser não negativo. Repare que a única forma é se [tex3]b=1[/tex3] , pois aquele quadrado é sempre positivo e temos um valor negativo multiplicando-o.
[tex3]\therefore b=1 \rightarrow a=1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^x=1 \\
3^x=1
\end{cases} \rightarrow x=0[/tex3]
Então só há um único valor de x.

Última edição: undefinied3 (Qui 15 Jun, 2017 16:37). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Gu178
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Re: (Farias Brito - prof MM) Equação Exponencial

Mensagem não lida por Gu178 »

Obrigado mesmo pela ajuda!




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