Olá GuiBernardo, boa tarde.
Observe a figura:
Na figura acima temos:
I) [tex3]\overline{O_{1}E} \ / / \ \overline{AB}[/tex3]
II) [tex3]\overline{O_{1}O_{2}}=4 \ cm[/tex3]
III) [tex3]\overline{O_{2}E}=2 \ cm[/tex3]
IV) [tex3]\overline{O_{1}E}=x[/tex3]
V) [tex3]L_{1} \ \ é \ o \ comprimento \ do \ arco \ DMA[/tex3]
VI) [tex3]L_{2} \ \ é \ o \ comprimento \ do \ arco \ DNB[/tex3]
No triangulo retângulo [tex3]\Delta EO_{1}O_{2}[/tex3]
vamos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de [tex3]x[/tex3]
:
[tex3]4^2=2^2+x^2[/tex3]
[tex3]x=2\sqrt{3} \ cm[/tex3]
Valor do ângulo [tex3]\alpha[/tex3]
:
[tex3]sen \ \alpha =\frac{2}{4}[/tex3]
[tex3]sen \ \alpha =\frac{1}{2} \ \ \rightarrow \alpha =30°[/tex3]
(i)
Valor do ângulo [tex3]\beta[/tex3]
:
[tex3]sen\beta =\frac{2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]sen\beta =\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \rightarrow \beta =60°[/tex3]
(ii)
De (i) e (ii) [tex3]⟹\begin{cases}
AÔ_{1}D=120°\\
DÔ_{2}B=60°
\end{cases}[/tex3]
A área do setor circular pode ser calculada por:
[tex3]A=\frac{\pi \cdot r^2\cdot \theta }{360°}[/tex3]
(iii)
OU
[tex3]A=\frac{L\cdot r}{2}[/tex3]
(iv)
Área do setorcircular [tex3]AO_{1}D[/tex3]
(círculo [tex3]C_{1}[/tex3]
) por (iii):
[tex3]A=\frac{\pi \cdot r_{1}^2\cdot (AÔ_{1}D)}{360°}[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi \cdot 1^2 \cdot 120°}{360°}[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi }{3} \ cm^2[/tex3]
Utilizando (iv) para encontrar [tex3]L_{1}[/tex3]
:
[tex3]A=\frac{L_{1}\cdot r_{1}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{\pi }{3}=\frac{L_{1}\cdot 1}{2}[/tex3]
[tex3]L_{1}=\frac{2\pi }{3} \ cm[/tex3]
Área do setor circular [tex3]DO_{2}B[/tex3]
(círculo [tex3]C_{2}[/tex3]
) por (iii):
[tex3]A=\frac{\pi \cdot r_{2}^2\cdot \beta }{360°}[/tex3]
[tex3]A=\frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 60°}{360°}[/tex3]
[tex3]A=\frac{3\pi }{2} \ cm^2[/tex3]
Utilizando (iv) para encontrar [tex3]L_{2}[/tex3]
:
[tex3]A=\frac{L_{2}\cdot r_{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3\pi }{2}=\frac{L_{2}\cdot 3}{2}[/tex3]
[tex3]L_{2}=\pi \ cm[/tex3]
Da informação: "O raio de círculo [tex3]C_{3}[/tex3]
cuja área coincide, numericamente, com o perímetro da região sombreada". Temos:
Área do círculo [tex3]C_{3}[/tex3]
:
[tex3]A=\pi \cdot r_{3}^2[/tex3]
. Como a área coincide com o perímetro, teremos:
[tex3]perímetro= \pi \cdot r_{3}^2[/tex3]
. O perímetro é a soma de [tex3]\overline{AB}=x=2\sqrt{3} \ cm[/tex3]
, [tex3]L_{1}=\frac{2\pi }{3} \ cm[/tex3]
e [tex3]L_{2}=\pi \ cm[/tex3]
:
[tex3]\frac{2\pi }{3} +\pi +2\sqrt{3}=\pi r_{3}^2[/tex3]
[tex3]\frac{2\pi }{3}+\frac{3\pi }{3}+\frac{6\sqrt{3}}{3}=\pi \cdot r_{3}^2[/tex3]
.Fazendo as somas e isolando [tex3]r_{3}^2[/tex3]
:
[tex3]r_{3}^2=\frac{5\pi }{3\pi }+\frac{6\cdot \sqrt{3}}{3\pi }[/tex3]
[tex3]r_{3}^2=\frac{5}{3}+\frac{2\cdot \sqrt{3}}{\pi }[/tex3]
[tex3]r_{3}=\sqrt{\frac{5}{3}+\frac{2\cdot \sqrt{3}}{\pi }} \ \ cm[/tex3]
Att>>rodBR.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
