IME / ITA ⇒ (EN CP-CEM - 2015) Volume de parte de esfera

[Alexandre82]

Qual o volume da parte de bola da equação [tex3]x^2+y^2+z^2 \leq 9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+y^2+z^2 \leq 9[/tex3]

que fica entre os planos [tex3]z=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=1[/tex3]

e [tex3]z=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=2[/tex3]

?

(A) [tex3]16\pi/3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16\pi/3[/tex3]

(B) [tex3]17\pi/3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]17\pi/3[/tex3]

(C) [tex3]18\pi/3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]18\pi/3[/tex3]

(D) [tex3]19\pi/3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]19\pi/3[/tex3]

(E) [tex3]20\pi/3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]20\pi/3[/tex3]

OBS: Imagino que se resolva por integração tripla (dx dy dz, e que z=1 e z=2 sejam os limites de integração da integral de z, certo? Mas não estou sabendo como montar essa integral tripla. A resposta é 20pi/3.

[jedi]

A maneira mais simples é fazer a integração por coordenadas cilíndricas

[tex3]\int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{3^2-z^2}}\int_{0}^{2\pi}r.dr.d\theta.dz[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{3^2-z^2}}\int_{0}^{2\pi}r.dr.d\theta.dz[/tex3]

[rippertoru]

Você pode usar a seguinte expressão,

[tex3]\begin{equation}
V = \frac{\pi h}{6}\left(3a^{2} + 3b^{2} + h^{2}\right)
\end{equation}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{equation}
V = \frac{\pi h}{6}\left(3a^{2} + 3b^{2} + h^{2}\right)
\end{equation}[/tex3]

em que:
h = é a distância entre os planos
a = é o raio menor (do circulo formado pelo corte do plano z = 2)
b = é o raio maior (do circulo formado pelo corte do plano z = 1)