IME / ITA ⇒ (Farias Brito) Relação entre cargas em uma situação de equilibrio

[Ardovino]

Três cargas puntiformes +Q1, +Q2 e +Q3 encontram-se fixas e alinhadas num plano horizontal sem atrito, como no esquema abaixo. Sabe-se que qualquer carga +q permanece em equilíbrio quando abandonada nesse plano horizontal, num certo ponto P, localizado a uma distancia D de carga -Q3.

A partir dessas informações, com base na lei de Coulomb, expresse uma relação entre Q1 e Q3

Resposta

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Gabarito:

(Q1/4Q3)^(2/3) + (Q2/4Q3)^2/3 = 1

[undefinied3]

Qual a dúvida em específico? O problema é basicamente isso:

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Chama cada cateto de x e de y, tome algum dos ângulos agudos do triângulo retângulo como referência e expresse tudo em função do seno ou cosseno desse ângulo.
Monte o esquema de forças para uma carga na circunferência de raio D e obtenha mais uma relação envolvendo os catetos, assim você vai conseguir encontrar [tex3]\sen(\theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(\theta)[/tex3]

e [tex3]\cos(\theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\theta)[/tex3]

em função apenas das cargas.
Por fim, use a relação [tex3]\sen^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1[/tex3]

[Deleted User 23699]

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Equilíbrio tangencial:
[tex3]F_1cos(90-\alpha)=F_3cos(\alpha)\\
\rightarrow \frac{q_1}{x^2}sen(\alpha )=\frac{q_3}{y^2}cos(\alpha )[/tex3]

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[tex3]F_1cos(90-\alpha)=F_3cos(\alpha)\\
\rightarrow \frac{q_1}{x^2}sen(\alpha )=\frac{q_3}{y^2}cos(\alpha )[/tex3]

Equilíbrio radial:
[tex3]F_2=F_3sen(\alpha )+F_1sen(90-\alpha )\\
\rightarrow \frac{q_2}{D^2}=\frac{q_3sen\alpha }{y^2}+\frac{q_1cos\alpha }{x^2}[/tex3]

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[tex3]F_2=F_3sen(\alpha )+F_1sen(90-\alpha )\\
\rightarrow \frac{q_2}{D^2}=\frac{q_3sen\alpha }{y^2}+\frac{q_1cos\alpha }{x^2}[/tex3]

mas da geometria do problema
[tex3]x=2Dcos\alpha \\
y=2Dsen\alpha [/tex3]

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[tex3]x=2Dcos\alpha \\
y=2Dsen\alpha [/tex3]

Substituindo nas duas expressões
[tex3]q_1sen^3\alpha =q_3cos^3\alpha \\
4q_2sen(\alpha) cos(\alpha)=q_3cos(\alpha )+q_1sen(\alpha ) [/tex3]

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[tex3]q_1sen^3\alpha =q_3cos^3\alpha \\
4q_2sen(\alpha) cos(\alpha)=q_3cos(\alpha )+q_1sen(\alpha ) [/tex3]

Agora precisamos de trigonometria...