IME / ITA ⇒ (IME) Múltiplos e Divisores Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Seja a equação [tex3]p^{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p^{n}[/tex3]

+ 144 = [tex3]q^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q^{2}[/tex3]

onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine a quantidade de possíveis valores de n.

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

[undefinied3]

[tex3]p^n=(q+12)(q-12)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p^n=(q+12)(q-12)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
p^{n-\alpha}=q+12 \\
p^{\alpha}=q-12
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
p^{n-\alpha}=q+12 \\
p^{\alpha}=q-12
\end{cases}[/tex3]

[tex3]p^{n-\alpha}-p^{\alpha}=24 \rightarrow p^{\alpha}(p^{n-2\alpha}-1)=24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p^{n-\alpha}-p^{\alpha}=24 \rightarrow p^{\alpha}(p^{n-2\alpha}-1)=24[/tex3]

Segue que [tex3]p^{\alpha}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p^{\alpha}[/tex3]

é fator de 24=2*2*2*3. As possibilidades são [tex3]2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[/tex3]

, [tex3]2^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^2[/tex3]

, [tex3]2^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^3[/tex3]

, [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

, [tex3]1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1[/tex3]

Para o primeiro caso:

[tex3]2^1(2^{n-2}-1)=24 \rightarrow 2^{n-2}-1=12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^1(2^{n-2}-1)=24 \rightarrow 2^{n-2}-1=12[/tex3]

, sem solução

Para o segundo caso:

[tex3]2^2(2^{n-4}-1)=24 \rightarrow 2^{n-4}-1=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^2(2^{n-4}-1)=24 \rightarrow 2^{n-4}-1=6[/tex3]

, sem solução

Para o terceiro caso:

[tex3]2^3(2^{n-6}-1)=24 \rightarrow 2^{n-6}-1=3 \rightarrow n=8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^3(2^{n-6}-1)=24 \rightarrow 2^{n-6}-1=3 \rightarrow n=8[/tex3]

Para o quarto caso:

[tex3]3(3^{n-2}-1)=24 \rightarrow 3^{n-2}=9 \rightarrow n=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3(3^{n-2}-1)=24 \rightarrow 3^{n-2}=9 \rightarrow n=4[/tex3]

Para o último caso:

[tex3]p^0(p^{n-0}-1)=24 \rightarrow p^n=25 \rightarrow p=5,\ n=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p^0(p^{n-0}-1)=24 \rightarrow p^n=25 \rightarrow p=5,\ n=2[/tex3]

Então há 3 possíveis valores para n.