Seja a equação [tex3]p^{n}[/tex3]
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
+ 144 = [tex3]q^{2}[/tex3]
onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine a quantidade de possíveis valores de n.IME / ITA ⇒ (IME) Múltiplos e Divisores Tópico resolvido
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(IME) Múltiplos e Divisores
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Re: (IME) Múltiplos e Divisores
[tex3]p^n=(q+12)(q-12)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
p^{n-\alpha}=q+12 \\
p^{\alpha}=q-12
\end{cases}[/tex3]
[tex3]p^{n-\alpha}-p^{\alpha}=24 \rightarrow p^{\alpha}(p^{n-2\alpha}-1)=24[/tex3]
Segue que [tex3]p^{\alpha}[/tex3] é fator de 24=2*2*2*3. As possibilidades são [tex3]2[/tex3] , [tex3]2^2[/tex3] , [tex3]2^3[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]1[/tex3]
Para o primeiro caso:
[tex3]2^1(2^{n-2}-1)=24 \rightarrow 2^{n-2}-1=12[/tex3] , sem solução
Para o segundo caso:
[tex3]2^2(2^{n-4}-1)=24 \rightarrow 2^{n-4}-1=6[/tex3] , sem solução
Para o terceiro caso:
[tex3]2^3(2^{n-6}-1)=24 \rightarrow 2^{n-6}-1=3 \rightarrow n=8[/tex3]
Para o quarto caso:
[tex3]3(3^{n-2}-1)=24 \rightarrow 3^{n-2}=9 \rightarrow n=4[/tex3]
Para o último caso:
[tex3]p^0(p^{n-0}-1)=24 \rightarrow p^n=25 \rightarrow p=5,\ n=2[/tex3]
Então há 3 possíveis valores para n.
[tex3]\begin{cases}
p^{n-\alpha}=q+12 \\
p^{\alpha}=q-12
\end{cases}[/tex3]
[tex3]p^{n-\alpha}-p^{\alpha}=24 \rightarrow p^{\alpha}(p^{n-2\alpha}-1)=24[/tex3]
Segue que [tex3]p^{\alpha}[/tex3] é fator de 24=2*2*2*3. As possibilidades são [tex3]2[/tex3] , [tex3]2^2[/tex3] , [tex3]2^3[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]1[/tex3]
Para o primeiro caso:
[tex3]2^1(2^{n-2}-1)=24 \rightarrow 2^{n-2}-1=12[/tex3] , sem solução
Para o segundo caso:
[tex3]2^2(2^{n-4}-1)=24 \rightarrow 2^{n-4}-1=6[/tex3] , sem solução
Para o terceiro caso:
[tex3]2^3(2^{n-6}-1)=24 \rightarrow 2^{n-6}-1=3 \rightarrow n=8[/tex3]
Para o quarto caso:
[tex3]3(3^{n-2}-1)=24 \rightarrow 3^{n-2}=9 \rightarrow n=4[/tex3]
Para o último caso:
[tex3]p^0(p^{n-0}-1)=24 \rightarrow p^n=25 \rightarrow p=5,\ n=2[/tex3]
Então há 3 possíveis valores para n.
Última edição: undefinied3 (Qua 12 Abr, 2017 09:26). Total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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