IME / ITA(IME) Múltiplos e Divisores Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Auto Excluído (ID:17906)
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(IME) Múltiplos e Divisores

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Seja a equação [tex3]p^{n}[/tex3] + 144 = [tex3]q^{2}[/tex3] onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine a quantidade de possíveis valores de n.

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Ter 11 Abr, 2017 21:59). Total de 2 vezes.



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undefinied3
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Abr 2017 12 09:26

Re: (IME) Múltiplos e Divisores

Mensagem não lida por undefinied3 »

[tex3]p^n=(q+12)(q-12)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
p^{n-\alpha}=q+12 \\
p^{\alpha}=q-12
\end{cases}[/tex3]
[tex3]p^{n-\alpha}-p^{\alpha}=24 \rightarrow p^{\alpha}(p^{n-2\alpha}-1)=24[/tex3]

Segue que [tex3]p^{\alpha}[/tex3] é fator de 24=2*2*2*3. As possibilidades são [tex3]2[/tex3] , [tex3]2^2[/tex3] , [tex3]2^3[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]1[/tex3]

Para o primeiro caso:

[tex3]2^1(2^{n-2}-1)=24 \rightarrow 2^{n-2}-1=12[/tex3] , sem solução

Para o segundo caso:

[tex3]2^2(2^{n-4}-1)=24 \rightarrow 2^{n-4}-1=6[/tex3] , sem solução

Para o terceiro caso:

[tex3]2^3(2^{n-6}-1)=24 \rightarrow 2^{n-6}-1=3 \rightarrow n=8[/tex3]

Para o quarto caso:

[tex3]3(3^{n-2}-1)=24 \rightarrow 3^{n-2}=9 \rightarrow n=4[/tex3]

Para o último caso:

[tex3]p^0(p^{n-0}-1)=24 \rightarrow p^n=25 \rightarrow p=5,\ n=2[/tex3]

Então há 3 possíveis valores para n.

Última edição: undefinied3 (Qua 12 Abr, 2017 09:26). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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