IME / ITA ⇒ (Farias Brito) Conjuntos Tópico resolvido

[Gu178]

Sejam A e B conjuntos com 2011 elementos e C um conjunto tal que n(A) + n(B) + n(C) = n(AUBUC), em que n(X) representa a quantidade de subconjuntos de x, incluindo [tex3]\emptyset[/tex3]

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[tex3]\emptyset[/tex3]

e o próprio X. A cardinalidade de C;

Resposta

---

2012

[314159265]

Sendo m o número de elementos da união dos conjuntos A, B e C, temos:

[tex3]2^{2011} + 2^{2011}+2^n = 2^{m}[/tex3]

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[tex3]2^{2011} + 2^{2011}+2^n = 2^{m}[/tex3]

[tex3]2*2^{2011}+2^n = 2^{m}[/tex3]

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[tex3]2*2^{2011}+2^n = 2^{m}[/tex3]

[tex3]2^{2012}+2^n = 2^{m}[/tex3]

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[tex3]2^{2012}+2^n = 2^{m}[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]2^n[/tex3]

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[tex3]2^n[/tex3]

:

[tex3]2^{2012-n}+1 = 2^{m-n}[/tex3]

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[tex3]2^{2012-n}+1 = 2^{m-n}[/tex3]

Olhando pra equação, de um lado eu tenho um número ímpar e de outro uma potência de 2. Concorda que a única forma dessa igualdade valer é se eu transformar a potência [tex3]2^{2012-n}[/tex3]

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[tex3]2^{2012-n}[/tex3]

em um número ímpar, pois somado com 1 vai dar uma potência de 2 possível lá do lado direito? Lembrando que m e n são números NATURAIS e que a diferença (m-n) também é. O único número ímpar possível é 1, que é quando o expoente é zero. Pense que se o expoente (2012-n) fosse qualquer outra coisa, a igualdade seria impossível. Assim eu concluo que n só pode ser 2012 e m 2013.

[Gu178]

Obrigado amigo, ajudou muito!!