IME / ITA ⇒ CN Racionalização Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Sejam y e z números reais distentos não nulos tais que [tex3]\frac{4}{yz} + \frac{y^{2}}{2z} + \frac{z^{2}}{2y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{yz} + \frac{y^{2}}{2z} + \frac{z^{2}}{2y}[/tex3]

= 3. Qual é o valor de y + z ?

[314159265]

[tex3]\frac{4}{yz}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}=3\,\,\Rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{yz}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}=3\,\,\Rightarrow[/tex3]

tirando o mmc, temos [tex3]\frac{4}{\left.yz \middle/ 2\right.}+\frac{y^2}{\left.2z \middle/ y\right.}+\frac{z^2}{\left.2y \middle/ z\right.}=\frac{3}{\left.1 \middle/ 2yz\right.}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4}{\left.yz \middle/ 2\right.}+\frac{y^2}{\left.2z \middle/ y\right.}+\frac{z^2}{\left.2y \middle/ z\right.}=\frac{3}{\left.1 \middle/ 2yz\right.}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow4\times 2\times y^2\times y+z^2\times z=3\times 2yz\,\,\,\Rightarrow\,\,\,8+y^3+z^3=6yz\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y^3+z^3=6yz-8\hspace{20pt}{\color{red}(1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Rightarrow4\times 2\times y^2\times y+z^2\times z=3\times 2yz\,\,\,\Rightarrow\,\,\,8+y^3+z^3=6yz\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y^3+z^3=6yz-8\hspace{20pt}{\color{red}(1)}[/tex3]

[tex3]y^3+z^3=(y+z)^3-3yz(y+z)\hspace{20pt}{\color{red}(2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^3+z^3=(y+z)^3-3yz(y+z)\hspace{20pt}{\color{red}(2)}[/tex3]

Igualando (2) em (1), temos:

[tex3]6yz-8=(y+z)^3-3yz(y+z)\Rightarrow\begin{cases}
(y+z)^3=-8\,\,\Rightarrow\,\,\,(y+z)=\sqrt[3]{-8}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(y+z)=-2 \\
6yz=-3yz(y+z)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\underbrace{\cancel{6yz}}_{2}=\underbrace{\cancel{-3yz}}_{-1}(y+z)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(y+z)=-2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6yz-8=(y+z)^3-3yz(y+z)\Rightarrow\begin{cases}
(y+z)^3=-8\,\,\Rightarrow\,\,\,(y+z)=\sqrt[3]{-8}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(y+z)=-2 \\
6yz=-3yz(y+z)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\underbrace{\cancel{6yz}}_{2}=\underbrace{\cancel{-3yz}}_{-1}(y+z)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(y+z)=-2
\end{cases}[/tex3]