IME / ITA ⇒ (Escola Naval) Determinante

[nanzinho12]

Uma função [tex3]y=f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=f(x)[/tex3]

é definida pelo determinante da matriz A abaixo , em cada [tex3]x \in \mathbb{R},[/tex3]

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[tex3]x \in \mathbb{R},[/tex3]

tal que A é invertível

[tex3]A=\begin{bmatrix}
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x^3 & x &x &1-x \\
1 &0 &0 &0 \\
x&1 &0 &-1
\end{bmatrix}[/tex3]

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[tex3]A=\begin{bmatrix}
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x^3 & x &x &1-x \\
1 &0 &0 &0 \\
x&1 &0 &-1
\end{bmatrix}[/tex3]

É correto afirmar que o conjunto da imagem de f é igual a

a) [tex3](- \infty,4][/tex3]

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[tex3](- \infty,4][/tex3]

b) [tex3]\mathbb{R}- \{0,4\}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}- \{0,4\}[/tex3]

c) [tex3](-\infty,4]-\{0\}[/tex3]

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[tex3](-\infty,4]-\{0\}[/tex3]

d) [tex3](-\infty,4)[/tex3]

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[tex3](-\infty,4)[/tex3]

e) [tex3][4,+ \infty][/tex3]

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[tex3][4,+ \infty][/tex3]

Resposta

---

Gabarito Letra C

[Radius]

Vamos trocar a terceira e a primeira linhas. O determinante trocará de sinal:

[tex3]\det A=\begin{bmatrix}
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x^3 & x &x &1-x \\
1 &0 &0 &0 \\
x&1 &0 &-1
\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
x^3 & x &x &1-x \\
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x&1 &0 &-1
\end{bmatrix}[/tex3]

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[tex3]\det A=\begin{bmatrix}
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x^3 & x &x &1-x \\
1 &0 &0 &0 \\
x&1 &0 &-1
\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
x^3 & x &x &1-x \\
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x&1 &0 &-1
\end{bmatrix}[/tex3]

Pela regra de Chió:

[tex3]\det A=-\begin{bmatrix}
x &x &1-x \\
x-1 & x & -2 \\
1 &0 &-1
\end{bmatrix} =-(-x^2-2x)+(x-x^2-x^2+x)=-x^2+4x =-(x-2)^2+4[/tex3]

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[tex3]\det A=-\begin{bmatrix}
x &x &1-x \\
x-1 & x & -2 \\
1 &0 &-1
\end{bmatrix} =-(-x^2-2x)+(x-x^2-x^2+x)=-x^2+4x =-(x-2)^2+4[/tex3]

pode-se ver que a imagem dessa função é [tex3]f(x)\leq 4[/tex3]

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[tex3]f(x)\leq 4[/tex3]

Porém, a matriz não será invertível quando o determinante for zero, ou seja, x=0 ou x=4.
Logo devemos excluir f(0)=f(4)=0, então a imagem da função é

[tex3]-\infty < f(x) <0[/tex3]

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[tex3]-\infty < f(x) <0[/tex3]

em união com [tex3]0< f(x) \leq 4[/tex3]

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[tex3]0< f(x) \leq 4[/tex3]

[nanzinho12]

Uma dúvida por que trocar a 3° linha pela primeira? só assim pode aplicar chió ? não influencia no valor do determinante?

[Auto Excluído (ID:17092)]

Olá, nanzinho12!

Você pode aplicar a regra de Chió sempre que tiver o 1. Se não houver, você utiliza Jacobi para obter o 1. Veja como chegaríamos ao mesmo resultado não efetuando a troca de linhas e aplicando Chió duas vezes:
[tex3]\det (A)=\begin{vmatrix}
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x^3 & x &x &1-x \\
1 &0 &0 &0 \\
x&1 &0 &-1
\end{vmatrix}[/tex3]

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[tex3]\det (A)=\begin{vmatrix}
x^2 & x-1 & x & -2 \\
x^3 & x &x &1-x \\
1 &0 &0 &0 \\
x&1 &0 &-1
\end{vmatrix}[/tex3]

Aplicando Chió no elemento da linha 3 e coluna 1:
[tex3]\det(A) = (-1)^{3 + 1}\begin{vmatrix} x-1 -x^2\cdot 0& x - x^2\cdot 0& -2 - x^2\cdot 0\\
x - x^3 \cdot 0 &x -x^3 \cdot 0 &1-x - x^3 \cdot 0 \\
1 - x\cdot 0 &0 - x\cdot 0 &-1 - x\cdot 0
\end{vmatrix}[/tex3]

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[tex3]\det(A) = (-1)^{3 + 1}\begin{vmatrix} x-1 -x^2\cdot 0& x - x^2\cdot 0& -2 - x^2\cdot 0\\
x - x^3 \cdot 0 &x -x^3 \cdot 0 &1-x - x^3 \cdot 0 \\
1 - x\cdot 0 &0 - x\cdot 0 &-1 - x\cdot 0
\end{vmatrix}[/tex3]

Desenvolvendo as operações:
[tex3]\det(A) = \begin{vmatrix} x-1 & x & -2 \\
x &x &1-x \\
1 &0 &-1
\end{vmatrix}[/tex3]

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[tex3]\det(A) = \begin{vmatrix} x-1 & x & -2 \\
x &x &1-x \\
1 &0 &-1
\end{vmatrix}[/tex3]

Aplicando Chió novamente no elemento da linha 3 e coluna 1:
[tex3]\det(A) = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} x - (x-1)\cdot 0 & -2 - (-1)\cdot (x-1) \\
x - x\cdot 0 &1-x - x\cdot (-1) \\
\end{vmatrix}[/tex3]

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[tex3]\det(A) = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} x - (x-1)\cdot 0 & -2 - (-1)\cdot (x-1) \\
x - x\cdot 0 &1-x - x\cdot (-1) \\
\end{vmatrix}[/tex3]

Desenvolvendo as operações:
[tex3]\det(A) = \begin{vmatrix} x & x -3\\
x &1\\
\end{vmatrix}[/tex3]

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[tex3]\det(A) = \begin{vmatrix} x & x -3\\
x &1\\
\end{vmatrix}[/tex3]

Aplicando o determinante de uma matriz de ordem 2:
[tex3]\det(A) = x - x(x-3) \rightarrow \det(A) = -x^2 + 4x \rightarrow \det(A) = -x(x-4)[/tex3]

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[tex3]\det(A) = x - x(x-3) \rightarrow \det(A) = -x^2 + 4x \rightarrow \det(A) = -x(x-4)[/tex3]

[MoisesRios]

Não poderia aplicar Laplace naquela terceira linha que está cheia de zeros? Apliquei aqui e achei resposta diferente

[danielbabico]

Não poderia aplicar Laplace naquela terceira linha que está cheia de zeros? Apliquei aqui e achei resposta diferente

Pode sim,é uma boa ideia!